10. Для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда компании, ведущей дела по автострахованию, важно обладать информацией о процессе поступлений в компанию требований по выплатам в соответствии со страховыми полисами.
Наблюдение за работой компании в предшествующий период показало, что число поступающих в компанию требований по выплатам за любой промежуток времени длиной τ не зависит от момента времени, с которого начинается отсчет промежутка τ, а зависит только от его продолжительности; требования в компанию в любые два непересекающиеся интервалы времени поступают независимо; в достаточно малые промежутки времени в компанию поступает по одному требованию. Ожидаемое число требований, поступающих в компанию за неделю, равно 2.
Какова вероятность того, что:
1) за месяц в компанию поступит 7 требований;
2) за месяц в компанию поступит менее 7 требований;
3) за месяц в компанию поступит не менее 7 требований;
4) за неделю в компанию не поступит ни одного требования;
5) за две недели в компанию поступит хотя бы одно требование;
6) интервал времени между двумя соседними требованиями будет менее двух дней;
7) интервал времени между двумя соседними требованиями будет не менее двух дней.
Решение. Сначала определим, каким является поток требований по выплатам.
По условию число поступающих в компанию требований по выплатам за любой промежуток времени не зависит от начала этого промежутка, а зависит лишь от его длины. Поэтому поток стационарен.
Поскольку требования за любые два непересекающиеся интервала времени поступают независимо, то поток обладает свойством отсутствия последействия.
Так как в достаточно малые промежутки времени в компанию поступает по одному требованию, то поток одинарен.
Таким образом, рассматриваемый поток является стационарным пуассоновским, т.е., простейшим потоком, и к нему можно применить формулы из теорем 1,2,3 лекций. За единицу времени естественно принять одну неделю.
По условию интенсивность потока равна 2 требования в неделю.
Пусть X (τ) – число требований по выплатам, поступающих в компанию за промежуток τ (недель), и Т – промежуток времени между любыми двумя соседними требованиями.
1) В первом вопросе τ = 1 месяц = 4 недели и m = 7. Тогда по формуле 2 из имеющейся таблицы 1 получаем
pm (τ) = 
, т.е. p 7(4) = 
≈ 0,143.
2) По формуле 4 из таблицы 1
Р (Х < k) = 
, т.е. Р (Х (4) < 7) = 
≈ 0,321.
3) По формуле 5 из таблицы 1
Р (Х (4) ≥ 7) = 1 – Р (Х (4) < 7) = 1 – 0,321 = 0,679.
4) В четвертом вопросе τ = 1 неделя. Вероятность p 0(1) того, что за неделю в компанию не поступит ни одного требования по выплатам, вычисляется по формуле 2 из таблицы 1.
p 0(τ) = , т.е. p 0(1) = 
≈ 0,135.
5) В пятом вопросе τ = 2 недели. Вероятность Р (Х (2) ≥ 1) того, что за две недели в компанию поступит хотя бы одно требование, вычисляем по формуле 6 из таблицы 1.
Р (Х (2) ≥ 1) = 1 - , т.е. Р (Х (2) ≥ 1) = 1 - 
≈ 0,981.
6) Вероятность того, что Т меньше двух дней или 
недели, вычисляем с помощью формулы для функции распределения из теоремы 3 §4.
F (t) = P (T < t) = 1 - 
, т.е. P (T < ) = F () = 1 – 
≈ 0,393.
7) Вероятность того, что Т не меньше двух дней или недели, вычисляем с помощью формулы для функции распределения из теоремы 3 §4.
P (T ≥ ) = 1 – P (T < ) = 1 – 0,393 = 0,607. ►
11. Число вкладов частных лиц в банк за любой определенный промежуток времени, как показали предыдущие наблюдения, не зависят от начала этого промежутка, а зависят лишь от его продолжительности. Вклады в банк в любые два непересекающихся промежутка времени делаются независимо. В промежутки времени достаточно малой длины вклады в банк поступают по одному. Средний интервал времени между двумя соседними вкладами равен 3-м часам.
Найти вероятности, с которыми:
1) за два дня в банк будет сделано 5 вкладов;
2) за два дня в банк будет сделано менее 5 вкладов;
3) за два дня в банк будет сделано не менее 5 вкладов;
4) за день в банк не будет сделано ни одного вклада;
5) за три дня в банк будет сделан хотя бы 1 вклад;
6) промежуток времени между двумя соседними вкладами в банк составит менее 3-х часов;
7) промежуток времени между двумя соседними вкладами в банк составит не менее 3-х часов.
Решение. Сначала по формуле математического ожидания из теоремы 3 найти интенсивность потока λ. Временная единица день приравнивается к 8 рабочим часам.
p 5(16) ≈ 0,174;
Р (Х (16) < 5) ≈ 0,384;
Р (Х (16) ≥ 7) ≈ 0,616;
p 0(8) ≈ 0,069;
Р (Х (24) ≥ 1) ≈ 0,999;
P (T < 3) ≈ 0,632;
P (T ≥ 3) ≈ 0,368.►
12. Проанализируем поток поступлений в страховую компанию, занимающуюся автострахованием, требований по выплатам в соответствии со страховыми полисами за период с начала ноября по конец января. Изучение этого потока в рассматриваемый период в прошлые годы показало, что число требований по выплатам, поступающих за некоторый промежуток времени τ, зависит не только от его продолжительности, но и от его начала. Объясняется это тем, что в рассматриваемый период ухудшаются погодные условия, обстановка на дорогах, что ведет к увеличению дорожно-транспортных происшествий.
Независимость поступлений требований в любые непересекающиеся интервалы времени и поступление требований по одному в малые промежутки времени сохраняются и в данной ситуации.
Ожидаемое число требований, поступающих в компанию за неделю, зависит от времени следующим образом: λ(t) = 
.
С какой вероятностью
1) за ноябрь месяц поступит в компанию 6 требований;
2) за декабрь месяц поступит в компанию 6 требований;
3) за январь месяц поступит в компанию не менее 5 требований;
4) за первые две недели ноября не поступит ни одного требования;
5) за вторую и третью недели декабря поступит хотя бы одно требование;
6) интервал времени между двумя соседними поступлениями требований будет не менее трех дней, если первое из них поступило в первый день второй недели января;
7) интервал времени между двумя соседними поступлениями требований будет менее двух дней, если первое из них поступило в первый день третьей недели декабря.
Решение. Поток требований является пуассоновским, но не стационарным.
За единицу времени примем одну неделю.
Пусть Х (t 0, τ) – случайное число поступивших в компанию требований за промежуток времени от t 0 до t 0 + τ, а Т (t 0) – случайный интервал времени между двумя соседними требованиями, первое из которых поступило в момент времени t 0.
Имеем следующую картинку распределения временных промежутков за рассматриваемый период:
 |
1) В первом вопросе τ = 1 месяц = 4 недели, момент начала этого промежутка t 0 = 0, m = 6.
По формуле 2 из таблицы 2 математическое ожидание а = М (Х (0; 4)) случайной величины Х (0; 4) равно
а = М (Х (0; 4)) = 
= 
= 
= 4,525.
Теперь по формуле 3 из таблицы 2можно найти требуемую вероятность
Р6(0; 4) = 
≈ 0,129.
2) Во втором вопросе τ = 1 месяц = 4 недели, t 0 = 4, m = 6. По формуле 2 таблицы 2
а = М (Х (4; 4)) = 
= 
= 
≈ 6,238.
Тогда по формуле 3 таблицы 2
Р6(4; 4) = 
≈ 0,16.
3) В третьем вопросе τ = 1 месяц = 4 недели, t 0 = 8, k = 5. По формуле 2 таблицы 2
а = М (Х (8; 4)) = 
= = 
≈ 7,104.
Искомую вероятность Р (Х (8,4) ≥ 5) находим по формуле 6 таблицы 2
Р (Х (8,4) ≥ 5) = 1 - 
≈ 0,836.
4) В четвертом вопросе τ = 2 недели, t 0 = 0, m = 0.
а = М (Х (0; 2)) = 
= 
= 
≈ 1,903.
Тогда по формуле 4 таблицы 2
p0 (0, 2) = 
≈ 0,149.
5) В пятом вопросе τ = 2 недели, t 0 = 5.
а = М (Х (5; 2)) = 
= 
= 
≈ 3,127.
Тогда по формуле 7 таблицы 2
Р (Х (5,2) ≥ 1) = 1 - 
≈ 0,956.
6) В шестом вопросе τ = 3 дня = 
недели, t 0 = 9.
а = М (Х (9; )) = 
= 
= 
≈ 0,747.
Тогда искомую вероятность находим по формуле (1) §5
P (T (9) ≥ ) = ℮- 0,747 ≈ 0,474.
7) В седьмом вопросе τ = 2 дня = недели, t 0 = 6.
а = М (Х (6; )) = 
= 
= 
≈ 0,45.
Тогда
P (T (6) < ) = 1 – P (T (6) ≥ ) = 1 – ℮- 0,45 ≈ 0,362.►
13. Ответить на вопросы предыдущего примера, если в его условии ожидаемое число требований, поступающих в компанию за месяц, зависит от времени t следующим образом: λ(t) = 
.
Ответ. За единицу времени принять 1 месяц.
Р6(0; 1) ≈ 0,086;
Р6(1; 1) ≈ 0,115;
Р (Х (2,1) ≥ 5) ≈ 0,482;
p0 (0, 
) ≈ 0,176;
Р (Х (1 
, ) ≥ 1) ≈ 0,879;
P (T (2 ) ≥ 
) ≈ 0,452;
P (T (1 ) < 
) ≈ 0,246.►
Потоки Эрланга.
14. Рассмотрим деятельность некоторого рекламного агентства. Для формулирования рекомендаций по улучшению его работы полезно обладать информацией о потоке поступления заказов на изготовление и размещение рекламы. Поэтому велись наблюдения, в частности, за интервалом времени между соседними поступлениями заказов, представляющим собой непрерывную случайную величину. Обозначим ее через Т. В результате статистической обработки этих данных были получены следующие характеристики случайной величины Т: среднее значение интервалов времени Т между двумя соседними поступлениями заказов М (Т) = 1 неделя и среднее квадратическое отклонение σ (Т) = 4 дня.
Заменим поток заказов нормированным потоком Эрланга 
, обладающим приближенно теми же характеристиками, найдем его интенсивность 
, порядок k и плотность распределения 
; подсчитаем вероятность того, что промежуток времени между двумя соседними заказами больше трех и меньше пяти дней.
Итак, для потока имеем.
М (
) = 1 неделя, σ () = 4 дня = 
недели. По формулам 2 и 5 из таблицы 3 для нормированного потока
= λ = 
= 
= 1 (заказ в неделю).
По формулам 7 и 2 для нормированного потока таблицы 3 имеем
σ () = 
= 
= 
откуда
k = 
= 
≈ 3.067.
Так как k – порядок нормированного потока Эрланга, то k должно быть натуральным числом. Поэтому в качестве k естественно выбрать ближайшее натуральное число, т.е. k = 3.
Таким образом, данный поток заказов можно приближенно заменить нормированным потоком Эрланга третьего порядка 
с интенсивностью 
=1 заказ в неделю.
Для плотности распределения случайной величины по формуле 3 из таблицы 3 для нормированного потока получим выражение
= 
= 13,5∙ t 2∙℮-3 t (t > 0).
Исследовав стандартным методом функцию , найдем, что она
1) определена на (0, +∞),
2) является функцией общего вида,
3) возрастает на промежутке 
и убывает на промежутке 
;
4) точка t = 
является точкой максимума, а сам максимум равен 
=0,812,
5) точки t 1 = 
и t 2 = 
являются точками перегиба графика функции, значения функции в этих точках равно 0,287 и 0,575 соответственно,
6) 
= 0, т.е. ось 0 t является для графика функции горизонтальной асимптотой.
|
 |
Вероятность р = 
того, что интервал времени между двумя соседними заказами больше трех и меньше пяти дней, равна по значению площади заштрихованной на рисунке криволинейной трапеции, которая вычисляется по формуле
р = = 
= 13,5 
.
Интегрируем по частям
р = 13,5∙ 
+ 13,5∙ 
=
= –13,5∙0,003+13,5∙ 
=–13,5∙0,003+13,5∙0,17 = 0,189.►
15. Проанализировать ситуацию, рассмотренную в предыдущем примере, если среднее значение интервала Т между двумя соседними поступлениями заказов на рекламу М (Т) = 1,5 недели и среднее квадратическое отклонение σ (Т) = 1 неделя. Найти вероятность того, что промежуток времени между двумя соседними заказами будет меньше двух недель.
Ответ. Поток заказов можно приближенно заменить нормированным потоком Эрланга второго порядка 
с интенсивностью 
= .
Плотность распределения 
= 
∙ t ∙℮-2 t.
≈ 0,404.►
