СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
М.М. Гхашим, Т.В.Чернэуцану
Марковские случайные процессы и
Основы теории массового обслуживания
Учебное пособие
Утверждено
ученым советом института
Севастополь
Гхашим М.М., Т.В.Чернэуцану
Марковские случайные процессы иОсновы теории массового обслуживания:учеб.-метод. пособие. – Севастополь: СевГУ, 2015.
В данном пособии рассмотрены два основных раздела: «», «», Каждый из разделов включает в себя основные вопросы теории, разбор типовых примеров, задания для самостоятельной работы с ответами к ним.
предназначено для студентов третьего курса при изучении темы «». Также в пособии рассматриваются.
Рецензенты:
к.ф.-м..,
к.т.н, доцент
нк.ф.-м.н доцент
Издание СевГУ, 2015
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава первая. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Граф состояний. Вероятности состояний…………………………..
Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным временем……………………………………………………..
Стационарный режим для цепи Маркова………………………….
Решение типовых задач…………………………………………………….
Задачи для самостоятельного решения………………………………….
Глава вторая. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАССОВАОБСЛУЖИВАНИЯ
Введение………………………………………………………………..
§ 2. Основные компоненты моделей массового обслуживания………
Случайный поток со счетным множеством состояний…………….
Поток событий. Простейший поток и его свойства………………..
Нестационарный пуассоновский поток……………………………..
Потоки Пальма и Эрланга…………………………………………….
Решение типовых задач……………………………………………………..
Задачи для самостоятельного решения………………………………….
Глава первая
Марковские случайные процессы
Граф состояний. Вероятности состояний.
Рассмотрим случайный процесс, который протекает в физической системе S. Этот процесс называется процессом с дискретными состояниями, если в любой момент времени t множество его состояний конечно или счетно; другими словами, если его сечение в любой момент времени t характеризируется дискретной случайной величиной X (t). Обозначим эти дискретные состояния
s 1, s 2, …, s i, …
Рассмотрим возможности системы S переходить из состояния s i в состояние s j непосредственно или через другие состояния. Для изображения этих действий удобно пользоваться ориентированным графом состояний, т.е. схемой, состоящей из совокупности точек (вершин) и соединяющих некоторые из них ориентированных отрезков (стрелок). Вершины графа будут соответствовать состояниям системы, мы будем изображать их прямоугольниками, в которые вписываются состояния; стрелка, ведущая из вершины s i в вершину s j, будет обозначать возможность перехода системы S из состояния s i в состояние s j непосредственно, минуя другие состояния.
Нередко кроме стрелок, связывающих различные состояния s i, s j (i ≠ j), проставляют также обратные стрелки, возвращающие систему из состояния в то же состояние s i. Переход по такой стрелке означает задержку системы в состоянии s i.
Пример 1. Система S представляет собой техническое устройство (ТУ), а его возможные состояния: s 1 – ТУ работает исправно; s 2 – ТУ неисправно, но это не обнаружено; s 3 – неисправность обнаружена, ведется поиск ее источника; s 4 – источник неисправности найден, ведется ремонт ТУ; s 5 – проводится послеремонтный осмотр (после этого осмотра, если ТУ восстановлено в прежнем виде, оно возвращается в состояние s 1, если нет – признается негодным и списывается); s 6 – ТУ списано за негодностью; s 7 – ведется профилактический осмотр ТУ (если обнаружена неисправность, ТУ направляется в ремонт). Составим граф состояний этой системы
 |
В дальнейшем всегда будем считать, что переход системы из одного состояния в другое состояние осуществляется мгновенно, и что в любой момент времени система может находиться только в одном из своих состояний.
Проведем некоторую классификацию состояний. Состояние s i называется источником, если система S может выйти из этого состояния, но попасть в него обратно уже не может. Состояние s i называется концевым или поглощающим, если система S может попасть в это состояние, но выйти из него уже не может.
Если система S может непосредственно перейти из состояния s i в состояние s j, то состояние sj называется соседним по отношению к состоянию si. Если система может непосредственно перейти из состояния s i в состояние s j и из состояния s j в состояние s i, то эти состояния называются соседними.
 |
На рисунке состояние s 1 является источником, состояние s 5 является поглощающим, а состояния s 2, s 3 и s 2, s 4 – соседними.
Состояние si называется транзитивным, если система S может войти в это состояние выйти из него, т.е. на графе состояний есть хотя бы одна стрелка, ведущая в si, и хотя бы одна стрелка, ведущая из si.
Наряду с отдельными состояниями системы S в ряде задач бывает нужно рассматривать подмножества ее состояний. Обозначим W множество всех состояний системы S (конечное или бесконечное, но счетное) и рассмотрим его подмножество 
. Это подмножество называется замкнутым, если система S, попав в одно (или находясь в одном) из состояний 
, не может выйти из этого подмножества состояний.
Подмножество состояний называется связным или эргодическим, если из любого состояния, входящего в него, можно попасть в любое другое состояние, принадлежащее этому подмножеству. В эргодическом множестве состояний нет ни источников, ни поглощающих состояний.
Подмножество состояний V называется транзитивным, если система S может войти в это подмножество и выйти из него, т.е. из любого состояния можно (за то или иное число перескоков) выйти из этого подмножества.
Определение. Вероятностью i -того состояния системы S в момент времени t называется вероятность события, состоящего в том, что в момент времени t система будет находиться в состоянии s i:
pi (t) = P { S (t) = si },
где S (t) – случайное состояние системы S в момент времени t.
Очевидно, что для системы с дискретными состояниями s 1, s 2, …, s i, … в любой момент времени t сумма вероятностей состояний равна единице,:
как сумма вероятностей полной группы несовместных событий.
