1. Прямая L является асимптотой графика функции у=f(x), если расстояние от точки (х,f(х)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.
2. Прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика функции у=f(x), если хотя бы один из пределов lim f (x) (правосторонний или левосторонний) равен ±∞. x→x0±0
3. Прямая y=b является горизонтальной асимптотой, если lim f(x)=b
x→∞
Если lim f(x)=b, то y=b-правосторонняя асимптота,
x→+∞
если lim f(x)=b, то y=b-левостороняя асимптота.
x→-∞
4. Общая схема исследования функций и построения графиков.
1. Найти область определения функции
2. Исследовать функцию на четность-нечетность
3. Найти вертикальные асимптоты
4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба
7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
8. Построить график функции.
Применение производной в задачах с экономическим содержанием
Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства х единиц данного продукта.
Прибыль Р(х) = D(x) –C(x),где D(x)-доход от производства х единиц продукта.
Средние издержки А(х) при производстве х единиц продукта есть С(х)/х.Предельные издержки М(х)=С'(х).
Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение х единиц продукта, при котором прибыль Р(х) оказывается наибольшей.
Семинар№8.
ПЗ 7-8. Приложение производной. Функции нескольких переменных.
1. Разбор домашнего задания №7
2. 1) Найти интервалы монотонности и точки эксремума функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке .
2) Найти интервалы монотонности и точки эксремума функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке .
3) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
4) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
Дифференциал функции.
1. Приращение ∆у дифференцируемой функции у=f(x) может быть представлено в виде:
∆у= f'(x) ∆x + a (∆x) ∆x, где ∆x- приращение независимой переменной.
2. Дифференциалом функции у=f(x) называется главная, линейная относительно ∆x часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
Dy= f'(x) ∆x/
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx=∆x/
Свойства дифференциала:
1. dc=0, c- const.
2. d(u±v)=du±dv.
3. d(u/v)=vdu-udv/v2.
4. d(cu)=c du.
5. d(uv)=v du + u dv.
6. dy=f'(u)du.
Семинар№9. Методы интегрирования неопределенного интеграла.