1. Предельные величины. Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность предельный доход, продукт и др.) характеризует не состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса по времени или относительно другого исследуемого фактора.
Издержки производства. Если издержки производства у рассматривать как функцию выпускаемой продукции х, т.е. у = С (х), то у = С' (х) будет выражать предельные издержки производства и приближенно характеризовать прирост переменных затрат на производство дополнительной единицы продукции. Средние издержки являются издержками на единицу выпуска продукции: С (х)
У1 = ――.
х
2. Производительность труда. Пусть функция u(f) выражает объем произведенной продукции у за время t. Тогда производная объема произведенной продукции по времени u'(t0) есть производительность труда в момент t0.
3. Функция потребления и сбережения. Если х – национальный доход, С (х) – функция потребления (часть дохода, которая тратится), а S (х) – функция сбережения, то
х = С (х) + S (х). (7.33)
Дифференцируя, получим, что
dС dS
― + ― = 1, (7.34)
dх dх
где dС
― - предельная склонность к потреблению;
dх
dS
― - предельная склонность к сбережению.
dх
4. Эластичность. Эта мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.
Эластичность функции определяется с помощью соотношения:
х
Ех (у) = ― · y'х или Ех (у) = х ·Tу, (7.35)
у
где 1
Ту (х) = (ln y)'= ― y'х (7.36)
у
- относительная скорость изменения (темп) функции.
Эластичность функции применяется при анализе спроса и предложения от цены (ценовая эластичность). Она показывает реакцию спроса или предложения на изменение цены и определяет, на сколько процентов приближенно изменится спрос или предложение при изменении цены на 1%.
Если эластичность спроса ׀ Ех (у) ׀>1, то спрос считается эластичным, если ׀Ех (у) ׀ =1 – нейтральным (с единичной эластичностью), а если ׀Ех (у) ׀ <1 – неэластичным относительно цены.
Семинар№7. Применение дифференциального исчисления к
Исследованию функции и построение их графиков.
1)Найти интервалы монотонности функции 
. Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке 
.
2) Написать уравнение касательной к кривой 
в точке с абсциссой 
.
3) Исследовать функцию 
и построить ее график
Основные теоремы дифференциального исследования.
Теорема Ролля.
Пусть Функция у=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на отрезке (а,b)
2. дифференцируема на интервале (а,b)
3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b).
Тогда на концах отрезка существует хоть одна точка ξ€(a,b),в которой производная функции равна нулю.
Теорема Лагранжа. Пусть Функция у=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на отрезке (а,b)
2. дифференцируема на интервале (а,b)
Тогда внутри отрезка существует хоть одна точка ξ€(a,b), в которой выполняется равенство:
f'(ξ)= f(b)-f(a)/b-a.
Теорема (правило) Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x).
x→x0(∞) x→x0(∞)
