Предельный анализ экономических процессов

1. Предельные величины. Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность предельный доход, продукт и др.) характеризует не состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса по времени или относительно другого исследуемого фактора.

 

Издержки производства. Если издержки производства у рассматривать как функцию выпускаемой продукции х, т.е. у = С (х), то у = С' (х) будет выражать предельные издержки производства и приближенно характеризовать прирост переменных затрат на производство дополнительной единицы продукции. Средние издержки являются издержками на единицу выпуска продукции: С (х)

У₁ = ――.

х

2. Производительность труда. Пусть функция u(f) выражает объем произведенной продукции у за время t. Тогда производная объема произведенной продукции по времени u'(t₀) есть производительность труда в момент t₀.

3. Функция потребления и сбережения. Если х – национальный доход, С (х) – функция потребления (часть дохода, которая тратится), а S (х) – функция сбережения, то

х = С (х) + S (х). (7.33)

Дифференцируя, получим, что

 

dС dS

― + ― = 1, (7.34)

dх dх

 

где dС

― - предельная склонность к потреблению;

dх

dS

― - предельная склонность к сбережению.

dх

4. Эластичность. Эта мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.

Эластичность функции определяется с помощью соотношения:

х

Е_х (у) = ― · y'_х или Е_х (у) = х ·T_у, (7.35)

у

где 1

Т_у (х) = (ln y)'= ― y'_х (7.36)

у

- относительная скорость изменения (темп) функции.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и предложения от цены (ценовая эластичность). Она показывает реакцию спроса или предложения на изменение цены и определяет, на сколько процентов приближенно изменится спрос или предложение при изменении цены на 1%.

Если эластичность спроса ׀ Е_х (у) ׀>1, то спрос считается эластичным, если ׀Е_х (у) ׀ =1 – нейтральным (с единичной эластичностью), а если ׀Е_х (у) ׀ <1 – неэластичным относительно цены.

Семинар№7. Применение дифференциального исчисления к

Исследованию функции и построение их графиков.

1)Найти интервалы монотонности функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке .

2) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

3) Исследовать функцию и построить ее график

Основные теоремы дифференциального исследования.

Теорема Ролля.

Пусть Функция у=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке (а,b)

2. дифференцируема на интервале (а,b)

3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b).

Тогда на концах отрезка существует хоть одна точка ξ€(a,b),в которой производная функции равна нулю.

Теорема Лагранжа. Пусть Функция у=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке (а,b)

2. дифференцируема на интервале (а,b)

Тогда внутри отрезка существует хоть одна точка ξ€(a,b), в которой выполняется равенство:

f'(ξ)= f(b)-f(a)/b-a.

Теорема (правило) Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x).

x→x₀(∞) x→x₀(∞)