Моделі та прогноз
Приклад 3.1. Визначити коефіцієнти детермінації та кореляції для економетичної моделі, яка побудована в прикладі 2.1. Перевірити гіпотезу про суттєвість зв’язку на основі F - і t - критеріїв. Виконати прогноз витрат на харчування, якщо загальні затрати становитимуть 900 одиниць, а середній склад сім’ї – 8,5.
Розв’язання
Економетрична модель має вигляд:
.
1. Визначимо коефіцієнт детеpмінації на основі співвідношення:
,
де 
, 
— відповідно залишкова й загальна дисперсії.
.
Це значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що варіація витрат на харчування на 96,09% визначається варіацією загальних затрат і складу сім’ї.
2. Коефіцієнт кореляції 
. Оскільки коефіцієнт кореляції наближається до одиниці, то це свідчить, що зв’язок між витратами на харчування, загальними затратами і складом сім’ї є дуже тісним.
3. Визначимо F - критерій (критерій Фішера):
.
Порівняємо розраховане значення критерію Фішера з табличним. При ступенях свободи 
; 
і рівні довіри 
, F табл 
Оскільки F факт > F табл, то гіпотеза про значущість зв’язку, який описується економетричною моделлю, підтверджується.
4. Розрахуємо t - критерії:
Табличне значення t - критерію при ступені свободи 
і рівні довіри 
дорівнює 2,16. Враховуючи, що
оцінки параметрів моделі 
і 
є достовірними. Оскільки 
, то знизимо рівень довіри: 
. У цьому випадку t табл = 1,77. А це означає, що 10-процентний рівень довіри підтверджує значущість вільного члена моделі.
5. Побудуємо довірчі інтервали для оцінок параметрів моделі:
6. Розрахуємо прогнозне значення витрат на харчування на основі еконо-
метричної моделі.
6.1. Визначимо точковий прогноз витрат на харчування на основі моделі:
6.2. Знайдемо дисперсію прогнозу:
.
6.3. Стандартна помилка прогнозу:
6.4. Визначимо довірчі інтервали прогнозного рівня витрат на харчування:
.
При 
.
Таким чином, точковий прогноз витрат на харчування дорівнює 233,1678 одиниць, а інтервальний буде знаходитись у межах від 211,8896 до 254,4455 одиниць.
Приклад 3.2. Побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між продуктивністю праці, фондомісткістю продукції та плинністю робочої сили, на основі покрокової регресії. Перевірити достовірність моделі та її параметрів. Дати змістовне тлумачення параметрів моделі. Вихідні дані наведені в табл. 3.1.
Таблиця 3.1
| № п / п | Продуктивність праці | Фондомісткість продукції | Плинність робочої сили |
| 1,0 | |||
| 0,5 | |||
| 0,8 | |||
| 0,7 | |||
| 0,6 | |||
| 0,6 | |||
| 0,8 | |||
| 0,5 | |||
| 0,6 | |||
| 1,0 |
Розв’язання
1. Ідентифікуємо змінні моделі:
Y — продуктивність праці, залежна змінна;
X 1 — фондомісткість продукції, незалежна змінна;
X 2— плинність робочої сили, незалежна змінна.
У загальному вигляді економетрична модель:
.
2. Специфікуємо модель в лінійній формі:
Оскільки оцінка параметрів моделі за методом 1МНК виконуватиметься на основі покрокової регресії, то спочатку буде побудована економетрична модель виду:
,
де
3. Нормалізуємо змінні моделі. Розрахунки представимо в табл. 3.2.
Таблиця 3.2
| № п / п | Y | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 3,3000 | 0,2900 | 4,7000 | 10.8900 | 0,0841 | 22,0900 | |||||
| 0,5 | 0,3000 | –0,2100 | 0,7000 | 0,0900 | 0,0441 | 0,4900 | ||||
| 0,8 | 1,3000 | 0,0900 | –1,3000 | 1,6900 | 0,0081 | 1,6900 | ||||
| 0,7 | 2,3000 | –0,0100 | –5,3000 | 5,2900 | 0,0001 | 28,0900 | ||||
| 0,6 | –3,7000 | –0,1100 | 8,7000 | 13,6900 | 0,0121 | 75,6900 | ||||
| 0,6 | 5,3000 | –0,1100 | –2,3000 | 28,0900 | 0,0121 | 5,2900 | ||||
| 0,8 | 0,3000 | 0,0900 | 2,7000 | 0,0900 | 0,0081 | 7,2900 | ||||
| 0,5 | –4,7000 | –0,2100 | –0,3000 | 22,0900 | 0,0441 | 0,0900 | ||||
| 0,6 | –8,7000 | –0,1100 | –0,3000 | 75,6900 | 0,0121 | 0,0900 | ||||
| 4,3000 | 0,2900 | –7,3000 | 18,4900 | 0,0841 | 53,2900 | |||||
| 7,1 | 176,1 | 0,309 | 194,1 |
Продовження табл. 3.2
| № п / п | 
| 
| 
|
| 0,7864 | 1,6489 | 1,0668 | |
| 0,0715 | –1,1946 | 0,1589 | |
| 0,3098 | 0,5120 | –0,2951 | |
| 0,5481 | –0,0569 | –1,2030 | |
| –0,8817 | –0,6258 | 1,9747 | |
| 1,2630 | –0,6258 | –0,5221 | |
| 0,0715 | 0,5120 | 0,6128 | |
| –1,1200 | –1,1946 | –0,0681 | |
| –2,0732 | –0,6258 | –0,0681 | |
| 1,0247 | 1,6498 | –1,6570 |
Середні значення:
.
Дисперсія:
Середньоквадратичні відхилення:
;
4. Побудуємо кореляційну матрицю (матрицю парних коефіцієнтів кореляції):
.
Розрахунок елементів кореляційної матриці наведено в табл. 3.3.
Таблиця 3.3
| Y *2 | 
| 
| 
| 
| 
|
| 0,6184 | 2,7217 | 1,1381 | 1,2973 | 0,8389 | 1,7600 |
| 0,0051 | 1,4272 | 0,0252 | –0,0854 | 0,0114 | –0,1898 |
| 0,0960 | 0,2621 | 0,0871 | 0,1586 | –0,0914 | –0,1511 |
| 0,3004 | 0,0032 | 1,4472 | –0,0312 | –0,6593 | 0,0684 |
| 0,7774 | 0,3916 | 3,8995 | 0,5517 | –1,7411 | –1,2357 |
| 1,5951 | 0,3916 | 0,2725 | –0,7903 | –0,6593 | 0,3267 |
| 0,0051 | 0,2621 | 0,3756 | 0,0366 | 0,0438 | 0,3138 |
| 1,2544 | 1,4272 | 0,0046 | 1,3380 | 0,0763 | 0,0813 |
| 4,2981 | 0,3916 | 0,0046 | 1,2973 | 0,1412 | 0,0426 |
| 1,0500 | 2,7217 | 2,7455 | 1,6905 | –1,6978 | –2,7336 |
| Всього | |||||
| 10,0000 | 10,0000 | 10,0000 | 5,4632 | –3,7375 | –1,7174 |
Звідси кореляційна матриця:
.
5. Враховуючи, що
,
то на першому етапі треба побудувати економетричну модель виду:
.
Рівняння для визначення параметру 
має вигляд:
Запишемо модель:
,
6. На другому етапі включимо в економетричну модель 
, в результаті модель набуде такого вигляду:
.
Система рівнянь для визначення параметрів цієї моделі:
Розв’язавши систему рівнянь, отримаємо:
Економетрична модель має вигляд:
.
7. Розрахуємо коефіцієнти детермінації та кореляції:
Це значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що варіація продуктивності праці лише на 37,9% визначається варіацією фондомісткості продукції та плинності робочої сили.
Коефіцієнт кореляції характеризує не тісний зв’язок факторів із продуктивністю праці.
8. Оцінимо достовірність моделі та її параметрів на основі критеріїв Фішера та Стьюдента.
При ступенях свободи 
і 
; рівні довіри 
F табл = 19,36. Оскільки F факт < F табл, то нульова гіпотеза відносно суттєвості зв’язку, який вимірюється на основі економетричної моделі, відхиляється. Це означає, що економетрична модель є недостовірною, тому перевірка значущості оцінок параметрів моделі є недоцільною.
9. Виконаємо перехід до економетричної моделі, в якій змінні виражені в абсолютних значеннях (вони наведені в табл. 3.1)
.
10. Наведемо розраховані економетричні моделі в даному прикладі і дамо змістовне тлумачення параметрів цих моделей.
1) 
;
2) 
.
Перш за все звернімо увагу на відсутність вільного члена в першій економетричній моделі. Це пов’язано з тим, що всі змінні нормалізовані і мають одну й ту саму одиницю виміру. Параметри першого рівняння характеризують граничну зміну залежної змінної, якщо незалежна збільшиться на величину свого середньоквадратичного відхилення 
. Так, якщо 
збільшиться на 
, то 
— на 
при незмінній величині 
; якщо збільшиться на 
, то — на 0,288 
при незмінній величині фактора . Враховуючи, що всі змінні мають одну й ту саму величину виміру, параметри першої економетричної моделі характеризують порівняльну силу впливу незалежних змінних на залежну. При параметрі 
це свідчить, що фондомісткість продукції сильніше впливає на продуктивність праці, ніж плинність робочої сили.
В другій економетричній моделі, яка характеризує зв’язок продуктивності праці з фондомісткістю продукції та плинністю робочої сили, коли кожний економічний показник має свою початкову одиницю виміру, є вільний член. Його рівень залежить від початку відрахунку змінних, а також від одиниць виміру кожної змінної моделі.
Параметр 
показує, що при зміні фондомісткості продукції на 1 тис.грн. продуктивність праці зросте на 11,86 тис.грн., якщо плинність робочої сили не зміниться. Параметр 
показує, що при збільшенні плинності робочої сили на 1% продуктивність праці зменшиться на 0,288 тис.грн. У загальному кожний із цих параметрів характеризує граничну зміну продуктивності праці, якщо відповідний фактор зміниться на одиницю за умови, що інший є константою. Маючи оцінку параметрів лінійної моделі 
і 
та співвідношення середніх значень продуктивності праці і кожного із факторів зокрема, знайдемо коефіцієнти еластичності:
Коефіцієнти еластичності характеризують, на скільки процентів зміниться продуктивність праці, якщо кожний із факторів, зокрема, зміниться на 1%. Так, 
= 0,29, тобто якщо фондомісткість продукції збільшиться на 1%, продуктивність праці – на 0,29%. 
= – 0,15, а це означає, що граничне збільшення продуктивності праці при зниженні плинності робочої сили на 1% складатиме 0,15%.
3.3. Завдання для самостійної роботи
Завдання 3.1. Для моделі, яка побудована для даних, наведених у табл. 2.3 — 2.5, виконати дисперсійний аналіз, зробити висновки відносно достовірності моделі та її параметрів.
Завдання 3.2. За даними, які наведені в табл. 2.3 — 2.5, побудувати економетричну модель за методом 1МНК на основі покрокової регресії. Порівняти оцінки параметрів даної економетричної моделі з оцінками параметрів моделі для відповідних даних завдання 2.3. Дати змістовне тлумачення оцінок параметрів, зробити висновки.
