Тema 3. Дисперсійний аналіз економетричної

МОДЕЛІ

Основні положення теми

Між оцінками параметрів економетричної моделі та коефіцієнтом кореляції, що характеризує тісноту зв’язку, існує зв’язок. Для простої економетричної моделі його можна записати так:

,

де — коефіцієнт парної кореляції;

, — середньоквадратичне відхилення відповідно залежної і незалежної змінної.

Це співвідношення було покладено в основу алгоритму визначення альтернативної оцінки параметрів моделі за методом 1МНК. Алгоритм має назву покрокової регресії і наступні кроки:

Крок 1. Стандартизація (нормалізація) всіх змінних моделі:

Крок 2. Визначення кореляційної матриці , елементи якої розраховуються таким чином:

Крок 3. Із усіх елементів матриці вибирається той, якому відповідає . Це означає, що незалежна змінна найтісніше зв’язана з залежною змінною . Будується економетрична модель:

.

Крок 4. Серед інших елементів матриці знову вибирається . Якщо даному коефіцієнту кореляції відповідає , то ця змінна вводиться в побудовану раніше економетричну модель; в результаті дістанемо:

і т.д.

Процес продовжується до тих пір, поки всі незалежні змінні поступово будуть включені в модель. Якщо є обмеження, яке вказує на недоцільність розширення економетричної моделі за рахунок змінних, що залишилися, то процес розрахунку закінчується раніше. Таким обмеженням може бути співвідношення між коефіцієнтом кореляції чи детермінації, виправленими й невиправленими на число ступеней свободи.

Система нормальних рівнянь у даному алгоритмі:

Позначимо елементи через вектор , а інші елементи –— через матрицю , тоді система рівнянь у матричному вигляді матиме такий вигляд:

.

Звідси , тобто отримаємо альтернативний оператор оцінювання параметрів моделі за методом 1МНК.

Оскільки оцінки параметрів моделі відносяться до стандарти-зованих змінних, то щоб перейти до оцінок параметрів моделі, в якій змінні мають свій початковий вимір, необхідно:

Множинний коефіцієнт детермінації, який визначає рівень варіації залежної змінної за рахунок незалежних, розраховується таким чином:

, чи

.

Коефіцієнт детермінації без урахування числа ступеней свободи:

.

Співвідношення між ними дорівнюватиме:

.

Множинний коефіцієнт кореляції характеризує тісноту зв’язку між залежною і незалежними змінними. Множинний коефіцієнт детермінації і кореляції знаходяться на множині

Якщо оцінка параметрів моделі отримана на основі покрокової регресії, то для визначення коефіцієнта детермінації можна використати такі співвідношення:

де – визначник матриці ;

–– алгебраїчне доповнення першого елемента матриці .

Гіпотеза про наявність чи відсутність зв’язку між залежною і незалежною змінними може бути перевірена на основі -критерію:

.

Фактичне значення — критерію порівнюється з табличним при сту-пенях свободи і і вибраному рівні довіри. Якщо _факт > _табл, то гіпотеза про суттєвість зв’язку між залежною і незалежними змінними економетричної моделі підтверджується, в протилежному випадку — відкидається.

Альтернативна формула розрахунку — критерію через коефіцієнт детермінації:

.

Значущість оцінок параметрів моделі можна визначити на основі — критерію:

.

Значення критерію порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості і ступенями свободи. Якщо _факт > _табл, то відповідний параметр економетричної моделі є достовірним.

На основі — критерію і стандартної помилки будуються довірчі інтервали для параметрів :

.

Прогноз залежної змінної на основі економетричної моделі при заданих залежних змінних можна виконати на основі такого співвідношення:

.

У цьому співвідношенні є стандартною помилкою прогнозу:

,

де — прогнозні значення незалежних змінних.