Тema 2. Побудова загальної лінійної моделі

ЗМІСТ

Вступ ……………………………………………………………………….….....4

ТЕМА 1. EКОНОМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ....…….......... 5

ТEMA 2. ПОБУДОВА ЗАГАЛЬНОЇ ЛІНІЙНОЇ МОДЕЛІ.………………..........14

ТEMA 3. ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ..............22

ТЕМА 4. МУЛЬТИКОЛІНЕАРНІСТЬ..………………….....................................33

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА.....................................................................45

ДОДАТОК А..........................................................................................................46

ВСТУП

Предметом курсу «Економіко-математичне моделювання» є методи побудови та застосування економетричних моделей, що характеризують взаємозв’язок між економічними показниками. Уже виходячи із визначення очевидно, що питома вага теоретичних викладок методів та їх практичної реалізації для конкретних економічних задач має бути приблизно однаковою. Не можна вивчити методи оцінки параметрів економетричних моделей, не застосувавши той чи інший алгоритм методу для конкретної реалізації на прикладах. Студент може знати ідею методу та вивчити його алгоритм, але щоб вміти методом користуватись, необхідно мати досвід розв’язання конкретних економічних задач на його базі. Тут дуже чітко слід розділити поняття «знати» та «вміти».

Студенти мають знати теоретичний матеріал, що включає опис та алгоритмізацію методів оцінки параметрів моделі, вміти застосовувати ці методи для кількісного виміру взаємозв’язку між конкретними економічними показниками, враховуючи особливості вихідної інформації, робити відповідні висновки.

ТЕМА 1. EКОНОМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ З ДВОМА

ЗМІННИМИ

Основні положення теми

Серед багаточисленних зв’язків між економічними показниками завжди можна виділити такий показник, вплив якого на результативну ознаку є основним, найбільш важливим. Щоб виміряти цей зв’язок кількісно, необхідно побудувати економетричну модель з двома змінними (просту модель). Загальний вигляд такої моделі:

Y = f (X, u),

де Y — залежна змінна (результативна ознака); X — незалежна змінна (фактор); u — стохастична складова.

Аналітична форма цієї моделі може бути різною залежно від економічної сутності зв’язків. Найбільш поширені форми залежностей:

;

;

;

,

де а ₀, а ₁ — невідомі параметри моделі.

Неважко переконатись, що наведені нелінійні форми залежностей за допомогою елементарних перетворень приводяться до лінійних. Якщо припустити, що економетрична модель з двома змінними є лінійною:

,

в якій стохастична складова (залишки) має нульове математичне сподівання та постійну дисперсію, то параметри моделі можна оцінити на основі звичайного методу найменших квадратів (1МНК).

В основі методу 1МНК лежить принцип мінімізації суми квадратів залишків моделі. Реалізація цього принципу дає можливість отримати систему нормальних рівнянь:

В даній системі n — кількість спостережень, , , , — величини, які можна розрахувати на основі вихідних спостережень над змінними і .

Розв’язавши систему нормальних рівнянь, одержимо оцінки невідомих параметрів моделі і :

.

Достовірність побудованої економетричної моделі можна перевірити, користуючись елементами дисперсійного аналізу. Перш за все слід розрахувати залишки моделі

та знайти їх дисперсію:

,

де — кількість змінних моделі ().

необхідно визначити стандартну помилку кожного параметра моделі.
в цій формулі характеризує відповідний діагональний елемент матриці помилок (матриці, оберненої до матриці системи нормальних рівнянь).

На основі коефіцієнта детермінації

можна зробити висновок про ступінь значущості вимірюваного зв’язку на основі економетричної моделі

.

Оскільки коефіцієнт детермінації R² характеризує, якою мірою варіація залежної змінної визначається варіацією незалежної змінної, то чим ближче R² до одиниці, тим суттєвішим є зв’язок між цими змінними.

Коефіцієнт кореляції R = характеризує тісноту зв’язку між змінними моделі. Він може знаходитись на множині . Чим ближче R до одиниці по модулю, тим тіснішим є зв’язок. Від’ємний знак свідчить про обернений зв’язок, додатній — про прямий.

Якщо прийняти відповідну гіпотезу про закон розподілу залишків економетричної моделі, то параметри її можна оцінити на основі метода максимальної правдоподібності.

Нехай залишки моделі розподіляються за нормальним законом, тоді функція правдоподібності запишеться так:

і

Продифереціюємо цю функцію за невідомими параметрами , і і, прирівнявши похідні до нуля, отримаємо систему рівнянь:

Підставимо в цю систему величини , , , , які розраховуються на основі вихідних даних, і розв’яжемо її відносно параметрів , і . В результаті отримаємо оцінки параметрів моделі і , а також оцінку дисперсії залишків.

1.2. Економетрична модель з двома змінними:

Побудова та аналіз

Приклад 1.1. На основі даних про роздрібний товарообіг і доходи населення побудувати економетричну модель роздрібного товарообігу. Дати загальну характеристику достовірності моделі та зробити висновки.

Вихідні дані та елементарні перетворення цих даних для побудови моделі наведені в табл. 1.1.

 

Таблиця 1.1

N п/п		X	X 2	XY
					16.67	-6.5	-5	42.25	32.5	0.33	0.1089
					18.31	-4.5	-4	20.25	18.0	-0.31	0.0961
					19.31	-3.5	-3	12.25	10.5	-0.13	0.0169
					21.59	-0.5	-1	0.25	0.5	-0.59	0.3481
					22.41	0.5		0.25	0.5	0.59	0.3481
					24.05	2.5		6.25	5.0	-0.05	0.0125
					24.87	3.5		12.25	10.5	0.13	0.0169
					25.69	4.5		20.25	18.0	0.31	0.0961
					27.33	6.5		42.25	32.5	-0.33	0.1089
					-----	----	--	162.5	133.	----	1.145

Розв’язання:

1. Ідентифікуємо змінні:

— роздрібний товарообіг (залежна змінна);

— доходи населення (незалежна змінна).

2. Нехай специфікація моделі визначається лінійною функцією; вона має такий вигляд:

,

де –– параметри моделі;

–– стохастична складова, залишки.

3. Оцінимо параметри моделі за методом 1МНК. Для цього запишемо систему нормальних рівнянь:

n = 10 –– кількість спостережень.

Підставимо в цю систему величини n, , , , які розраховані на основі вихідних даних табл. 1.1; тоді система набуде такого вигляду:

Розв’яжемо цю систему відносно невідомих параметрів .

Таким чином, економетрична модель запишеться так:

.

4. Знайшовши відхилення кожної змінної від своєї середньої арифметичної, розрахуємо параметри моделі альтернативним способом:

5. Розрахуємо дисперсії залежної змінної та залишків:

6. Визначимо коефіцієнти детермінації та кореляції:

Оскільки коефіцієнт детермінації R ² = 0,99, це свідчить, що варіація обсягу роздрібного товарообігу на 99% визначається варіацією доходів населення. Коефіцієнт кореляції характеризує тісний зв’язок між цими соціально-економічними показниками. Величини R ² і R для парної економетричної моделі свідчать про її достовірність, якщо вони наближаються до одиниці.

7. Знайдемо матрицю помилок C (матрицю, обернену до матриці системи нормальних рівнянь):

— матриця помилок.

8. Визначимо стандартні помилки оцінок параметрів моделі, враховуючи дисперсію залишків:

Порівняємо стандартні помилки оцінок параметрів моделі з величиною цих оцінок. В результаті визначимо, що стандартна помилка оцінки параметрa становить 3,4% абсолютного значення цієї оцінки (0,82), що свідчить про незміщеність даної оцінки параметрa моделі. Стандартна помилка оцінки параметрa становить 38% абсолютного значення цієї оцінки (1,91), а це означає, що даний параметр може мати зміщення, яке зумовлюється невеликою сукупністю спостережень (n = 10).

9. Висновки. Економетрична модель кількісно описує зв’язок роздрібного товарообігу і доходів населення.

Параметр характеризує граничну величину витрат на купівлю товарів у роздрібній торгівлі, коли дохід збільшується на одиницю, тобто при збільшенні доходів на одиницю обсяг роздрібного товарообігу зростає на 0,82 одиниці .

Визначимо коефіцієнт еластичності роздрібного товарообігу залежно від доходів населення:

.

На основі коефіцієнта еластичності можна стверджувати, що при збільшенні доходів населення на один процент роздрібний товарообіг зросте на 0,91%.

1.3. Завдання для самостійної роботи

Завдання 1.1. На основі даних по дев’яти металобазах побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між витратами обігу та вантажооборотом. Проаналізувати достовірність моделі та її параметрів. Зробити економічні висновки. Вихідні дані наведені в табл. 1.2 — 1.31.

 

Таблиця 1.2		Таблиця 1.3		Таблиця 1.4
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
	2,7	15,6			2,6	16,9			2,9	14,1
	3,0	15,3			2,9	16,1			2,.6	17,2
	2,8	14,9			2,7	15,0			2,8	17,1
	2,9	15,1			2,5	18,0			2,7	17,8
	2,6	16,1			2,7	17,2			2,7	16,2
	2,5	16,7			2,6	17,1			2,9	17,2
	2,8	15,4			2,7	16,4			2,4	16,8
	2,6	17,1			2,6	16,7			2,9	14,8
	2,5	16,8			2,8	16,9			2,3	19,6
Таблиця 1.5		Таблиця 1.6		Таблиця1.7
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-борот
	3.3	11,4			3,0	11,7			2,9	15,7
	2.5	17,1			2,5	18,3			2,6	17,9
	2.4	19,5			2,5	18,2			2,7	15,3
	3.0	12,5			2,6	15,6			2,7	16,3
	2.7	16,5			2,1	17,4			2,6	17,7
	2.7	16,0			2,9	13,8			2,5	16,8
	2.7	16,1			2,7	15,0			2,7	17,5
	2.8	16,2			2,4	18,6			2,8	16,7
	2.5	18,0			2,8	15,7			2,9	18,0

 

 

Таблиця 1.8		Таблиця1.9		Таблиця 1.10
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо- оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
	2,8	13,8			2,7	14,9			2,3	32,1
	2,7	14,8			2,5	16,1			1,9	31,0
	2,4	16,9			2,1	19,7			2,3	32,4
	2,3	16,8			2,8	14,0			2,5	33,2
	2,5	14,8			2,4	17,1			2,6	31,2
	2,5	17,9			2,3	18,2			2,0	34,8
	2,5	17,6			2,5	17,4			1,9	35,4
	2,4	15,7			2,7	16,1			2,4	33,0
	2,3	15,2			2,4	18,0			2,2	34,8
Таблиця 1.11		Таблиця1.12		Таблиця1.13
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
	1,8	36,1			2,0	33,4			2,8	14,0
	2,4	38,3			2,0	37,8			2,4	17,1
	2,5	30,6			2,2	35,8			2,3	18,2
	2,3	32,1			1,9	34,2			2,5	17,4
	2,3	37,6			2,4	37,2			2,7	16,1
	2,5	34,8			1,9	38,2			2,4	18,8
	2,4	34,2			2,2	29,4			2,3	32,2
	2,5	34,2			2,4	37,2			1,9	31,0
	2,1	32,5			2,2	34,5			2,3	32,4
Таблиця 1.14		Таблиця 1.15		Таблиця 1.16
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
	2,5	33,2			1,8	36,1			1,9	33,4
	2,6	31,2			2,4	38,3			2,0	37,8
	2,0	34,.8			2,5	30,6			2,2	35,8
	1,9	35,4			2,3	32,1			1,9	34,2
	2,4	33,0			2,3	37,6			2,4	37,2
	2,2	34,8			2,5	34,8			1,9	38,2
	2,1	33,3			2,4	34,2			2,1	29,4
	1,8	36,1			2,5	34,2			2,4	37,2
	2,4	38,3			2,1	32,5			2,2	34,5
Таблиця 1.17		Таблиця 1.18		Таблиця 1.19
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
	2,0	35,0			3,0	29,4			2,4	40,2
	2,3	43,7			2,6	35,4			2,2	39,4
	2,7	31,9			2,3	39,7			2,6	43,7
	2,2	37,3			2,5	37,1			2,6	38,4
	2,4	40,9			2,2	35,7			2,3	38,8
	2,3	38,8			2,4	40,2			2,2	39,9
	2,3	35,7			2,2	39,4			2,8	30,1
	2,6	43,2			2,6	43,7			2,8	31,7
	2,7	30,5			2,6	38,4			2,6	37,2
Таблиця 1.20		Таблиця 1.21		Таблиця 1.22
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
	2,0	38,2			2,5	34,8			2,3	11,1
	2,1	36,9			2,4	34,2			2,1	10,9
	2,3	39,7			2,5	34,2			2,2	11,0
	2,6	37,2			2,1	32,5			2,1	11,4
	2,8	31,7			2,0	33,4			2,2	12,5
	2,8	30,1			2,0	37,8			2,0	10,1
	2,2	39,9			2,2	35,8			2,1	11,3
	2,3	38,8			1,9	34,2			2,3	13,7
	2,6	38,4			2,4	37,2			2,1	12,4
Таблиця 1.23		Таблиця 1.24		Таблиця 1.25
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
	3,7	16,6			3,7	16,9			2,9	16,6
	4,0	16,3			4,0	16,1			2,.6	16,3
	3,8	15,9			3,8	15,0			2,8	15,9
	3,9	14,1			3,9	18,0			2,7	14,1
	3,6	15,1			3,6	17,2			2,7	15,1
	3,5	15,7			3,5	17,1			2,9	15,7
	3,8	14,4			3,8	16,4			2,4	14,4
	3,6	16,1			3,6	16,7			2,9	16,1
	3,5	15,8			3,5	16,9			2,3	15,8
Таблиця 1.26		Таблиця 1.27		Таблиця1.28
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-борот
	3,7	11,4			3,0	16,9			2,9	16,7
	4,0	17,1			2,5	16,1			2,6	18,9
	3,8	19,5			2,5	15,0			2,7	16,3
	3,9	12,5			2,6	18,0			2,7	17,3
	3,6	16,5			2,1	17,2			2,6	18,7
	3,5	16,0			2,9	17,1			2,5	17,8
	3,8	16,1			2,7	16,4			2,7	18,5
	3,6	16,2			2,4	16,7			2,8	17,7
	3,5	18,0			2,8	16,9			2,9	19,0
Таблиця 1.29		Таблиця1.30		Таблиця 1.31
N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо- оборот		N п / п	Витрати обігу	Вантажо-оборот
	2,8	12,8			2,7	12,8			2,3	32,1
	2,7	13,8			2,5	13,8			1,9	31,0
	2,4	15,9			2,1	15,9			2,3	32,4
	2,3	15,8			2,8	15,8			2,5	33,2
	2,5	13,8			2,4	13,8			2,6	31,2
	2,5	16,9			2,3	16,9			2,0	34,8
	2,5	16,6			2,5	16,6			1,9	35,4
	2,4	14,7			2,7	14,7			2,4	33,0
	2,3	14,2			2,4	14,2			2,2	34,8

 

 

ТEMA 2. ПОБУДОВА ЗАГАЛЬНОЇ ЛІНІЙНОЇ МОДЕЛІ

Основні положення теми

Для того щоб кількісно описати зв’язок між кількома або багатьма змінними, одна з яких є залежною, інші — незалежними змінними, необхідно розглянути лінійну економетричну модель, яка базується на регресійному аналізі.

У загальному вигляді цю модель можна записати так:

де — залежна змінна;

— незалежні змінні;

u — стохастична складова.

Залежна змінна Y називається також пояснюваною, ендогенною змінною, незалежні змінні X_j — пояснюючими, предетермінованими, екзогенними змінними.

Аналітична форма загальної лінійної економетричної моделі:

,

де — параметри моделі.

В матричній формі економетрична модель має такий вигляд:

 

,

X — матриця незалежних змінних; A — вектор оцінок параметрів моделі; u — вектор залишків.

Щоб оцінити параметри моделі на основі методу 1МНК, необхідно дотримуватися таких передумов (гіпотез):

1) математичне сподівання залишків має дорівнювати нулю, тобто

;

2) значення вектора залишків u незалежні між собою і мають постійну дисперсію:

3) незалежні змінні моделі не зв’язані із залишками, тобто

;

4) незалежні змінні моделі створюють лінійно-незалежну систему векторів, тобто

Оператор оцінювання параметрів моделі на основі 1МНК:

Неважко довести, що оцінки , які можна отримати на основі оператора оцінювання 1МНК, мінімізують суму квадратів залишків u. При цьому значення вектора є розв’язком нормальної системи рівнянь:

Якщо незалежні змінні в матриці X взяті як відхилення кожного значення від своєї середньої, то матрицю називають матрицею моментів. Числа, що стоять на її головній діагоналі, характеризують величину дисперсій незалежних змінних, інші елементи відповідають взаємним коваріаціям.

Оцінки параметрів загальної економетричної моделі повинні мати такі властивості:

1) незміщеності;

2) обгрунтованості;

3) ефективності;

4) інваріантності.

Оцінка параметра моделі буде незміщеною, коли дотримується рівність:

.

Якщо ця рівність не дотримується, то різниця називається зміщенням оцінки.

Оцінка параметра моделі буде обгрунтованою, якщо при заданій малій величині справедливе відношення:

.

Оцінки параметрів A називаються ефективними, коли вони мають найменшу дисперсію.

Якщо функція відповідає функції , то оцінки параметрів A є інваріантними.