Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

W (А + В) = W (А) + W(В).

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью W(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

W (АВ) = W(А) · W(В/А), или W (АВ) = W(В) · W(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

W(АВ) = W(А) · W(В).

=1 – условие нормировки вероятности

 

Распределение молекул по скоростям.

Найти распределение молекул по скоростям − это значит определить, сколько молекул

или, какая их часть из общего числа N имеют скорости, лежащие в интервале от v до v + dv.

Пусть ΔN − число молекул, обладающих скоростями в диапазоне значений от v до v + dv

Одинаковым для различных порций газа будет следующее отношение:

Определенная таким образом функция f(v) является функцией распределения. Зная вид этой функции можно найти число молекул ΔN.

Функция распределения была найдена теоретически Максвеллом и носит его имя.

, где А – множитель, не зависящий от v, m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана.

Т.к. ,

, откуда

A =

Таким образом, функция распределения Максвелла имеет вид:

 

Распределение молекул по координатам

Определим закон изменения давления и плот-

ности земной атмосферы как функцию расстояния от её поверхности.

Применительно к слою газа толщиной

dh условие механического равновесия следует записать следующим образом:

(р+dp)s+ρgsdh-ps=0

Раскроем скобки: dp = -ρgdh

Ρ= m/V= pµ/RT

Подставим одно в другое: dp/p= - (µg/RT)*dh

Интегрируем: p(h)=p0*exp(-µgh/RT) – барометрическая формула.

Барометрическая формула по-

зволяет получить закон изменения с высотой количества молекул в единице объёма, для этого необходимо выразить давление через концентрацию молекул:

p=n*kв*t, n(h)=n0*exp(-µgh/RT)