Периоды колебаний физического и математического маятников

Периодом колебаний Т называется наименьший промежуток времени, за который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состоя­ние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. При этом фаза получает приращение 2 :

Отсюда получается, что Математическим маятником называется идеализированная система, со­стоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой нити длиной L и колеблющейся под действием силы тяжести без трения. Частота малых колебаний зависит от длины маятника , но не от массы тела. Формула для периода колебаний математического ма­ятника называется формулой Томсона. Согласно период колебаний ма­тематического маятника пропорционален его длине в степени 1/2. При небольших углах отклонения физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F. Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла . Так как угол маленький, у нас получается, что F равно: Для вывода закона движения физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения: Так как момент силы определить в явном виде нельзя. Надо записать дифференциальное уравнение колебаний физического маятника: Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний: Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид: Тогда период колебаний математического маятника будет равен:

— Период физического маятника. — Момент силы маятника относительно оси вращения. — Расстояние от оси вращения до центра масс. — Масса маятника. — Ускорение свободного падения

37. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента его инерции I_С относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

Доказательство:

Пусть - радиус-вектор i-ro элемента тела относительно центра масс. Радиус-вектор центра масс системы частиц относительно начала отсчета вы­бранной системы отсчета равен = по определению. В системе центра масс и, следовательно, относительно центра масс суммарный вектор .Но составляющая вектора но , перпендикулярная осям 1 и 2. Следовательно, если суммарный вектор равен нулю, то сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям 1 и 2, также равна нулю.