Генерального середнього за малою вибіркою

Завдання побудови довірчого інтервалу для генерального середнього може бути розв’язане, якщо в генеральній сукупності дана ознака має нормальний розподіл.

Теорема 3. 2 Якщо ознака (випадкова величина) X має нормальний закон розподілу з параметрами M(x)= , , тобто , то вибіркове середнє при будь-якому n (а не тільки при ) має нормальний закон розподілу .

Доведення. Якщо у випадку великих вибірок (при ) із будь-яких

генеральних сукупностей нормальність розподілу була зумовлена сумуванням великого числа однаково розподілених випадкових величин (теорема Ляпунова), то у випадку малих вибірок, отриманих із нормальної генеральної сукупності, нормальність розподілу випливає з того, що розподіл суми (композиція) будь–якого числа нормально розподілених випадкових величин має нормальний розподіл. Формули числових характеристик для отримані в теоремі 2.3 (розділ 2).

Таким чином, якщо б була відома генеральна дисперсія , то довірчий інтервал можна було б побудувати аналогічно вище зазначеному і при малих n. Зауважимо, що при цьому нормоване відхилення середнього має стандартний нормальний розподіл N (0;1). Справді, використовуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, отримаємо:

,

Щоправда, на практиці майже завжди генеральна дисперсія (як і оцінювана генеральне середнє ) невідома. Якщо замінити її «найкращою» оцінкою по вибірці, а саме «виправленою» вибірковою дисперсією , то більшу привабливість має розподіл вибіркової характеристики (статистики) або розподіл статистики . Представимо статистику t в вигляді: . Чисельник виразу має стандартний нормальний розподіл N (0;1). Можна показати, що випадкова величина має - розподіл з k=n -1 степенями вільності. Таким чином, статистика t має t -розподіл Стьюдента з k=n -1 степенями вільності. Вказаний розподіл не залежить від невідомих параметрів розподілу випадкової величини X, а залежить тільки від числа k, яке називається числом степенів вільності. Число степенів вільності k визначається як загальне число n спостережень (варіант) випадкової величини X мінус число рівнянь l, що зв’язують ці спостереження, тобто k = n - l.

Так, наприклад, для розподілу статистики число степенів вільності k=n- 1, бо один степінь «губиться» при визначенні вибіркового середнього (n спостережень пов’язані одним рівнянням ). Знаючи t -розподіл Стьюдента, можна знайти таке критичне значення , що ймовірність того, що статистика не перевищить величину (за абсолютною величиною), рівна :

.

Функція , де - густина ймовірностей

t -розподілу Стьюдента при числі степенів вільності k, табульована. Ця функція аналогічна функції Лапласа Ф(t), але на відміну від неї є функцією двох змінних: t і k = n -1. При функція нескінченно наближається до функції Лапласа Ф(t). Формула довірчої ймовірності для малої вибірки може бути подана в рівносильному вигляді:

,

де - гранична похибка малої вибірки. Довірчий інтервал для генерального середнього знаходиться за формулою:

.

◄ Приклад 3.6 Для контролю строку служби електроламп з великої партії було відібрано 17 електроламп. В результаті дослідів виявилось, що середній строк служби відібраних ламп дорівнює 980 год., а середнє квадратичне відхилення їх строку служби - 18год. Необхідно знайти:

а) ймовірність того, що середній строк служби ламп у всій партії відрізняється від середнього строку служби відібраних для дослідів ламп не більше ніж на 8год. (за абсолютною величиною); б) межі, в яких із ймовірністю 0,95 знаходиться середній строк служби ламп у всій партії.

Розв’язання. Маємо за умовою n =20, (год.), s =18год.

а) знаючи граничну похибку малої вибірки =8(год.), знайдемо : . Тепер шукана довірча ймовірність , ( знаходимо за таблицею значень при числі степенів вільності k =16). Отже, ймовірність того, що розбіжність середніх строків служби електроламп у вибірці і у всій партії не перевищить 8 год. (за абсолютною величиною), дорівнює 0,906.

б) Беручи до уваги, що і (за таблицею) , знай-

демо граничну похибку малої вибірки (год.). Тепер шуканий довірчий інтервал або (год.), тобто з надійністю 0,95 середній строк служби електроламп в партії знаходиться в проміжку від 970,5 до 989,5 год.►