Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Основные понятия

Определение. Линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений (ЛНДС) с постоянными коэффициентами называется система вида:

(1)

где заданные действительные числа, заданные непрерывные на промежутке функции, из которых хотя бы одна на не равна тождественно нулю.

Теорема 1 (структура общего решения ЛНДС).

Общее решение ЛНДС (1) на промежутке представляет собой сумму общего решения соответствующей ЛОДС и какого-нибудь частного решения ЛНДС (1), т.е.

Метод вариации произвольных постоянных

1) Рассмотрим этот метод для решения ЛНДС 2-го порядка:

(2)

Пусть общее решение соответствующей однородной системы получено в виде:

где произвольные постоянные.

Будем искать частное решение ЛНДС (2) в виде:

(3)

где функции, которые находятся из решения системы:

Решая систему, определим

Пусть и Интегрируя эти выражения, получим Подставим найденные в формулы (3), получим частное решение ЛНДС (2):

Тогда общее решение ЛНДС (2) запишется в виде:

2) Пусть система (1) записана в матричной форме, причем:

Тогда:

(4)

Общее решение ЛНДС (4) можно записать в виде:

где с – матрица-столбец из произвольных постоянных , частное решение ЛНДС (4), фундаментальная матрица, ее столбцы линейно-независимые решения ЛОДС.

По методу вариаций произвольных постоянных частное решение ЛНДС (4) запишется в виде:

где обратная матрица для матрицы

Теорема 2. Пусть в формуле (4)

где заданное действительное число, матрица, составленная из многочленов степени m c постоянными коэффициентами.

Тогда ЛНДС (4) имеет частное решение вида:

(5)

где s равно кратности числа как корня характеристического уравнения матрицы А; матрица, составленная из многочленов степени m+s с неопределенными коэффициентами, которые определяются путем подстановки функции (5) в (4) вместо Y (x) и приравнивания коэффициентов при подобных членах в правой и левой частях полученного равенства.

Теорема 3. Пусть в формуле (4)

где заданные действительные числа, матрицы, составленные из многочленов степени соответственно с постоянными коэффициентами. Тогда ЛНДС (4) имеет частное решение вида:

(6)

где равно кратности числа как корня характеристического уравнения матрицы А, матрицы, составленные из многочленов степени m+s c неопределенными коэффициентами, которые определяются путем подстановки функции (6) в (4) вместо Y (x) и приравнивания коэффициентов при подобных членах в правой и левой частях полученного равенства.

Примеры с решениями

Пример 1. Решить систему:

Решение. Решим эту систему методом вариации произвольных постоянных.

1) Найдем общее решение соответствующей ЛОДС:

Ее характеристическое уравнение имеет вид:

Тогда общее решение ЛОДС составляют функции:

где произвольные постоянные, постоянные, которые надо выразить через с помощью подстановки во второе уравнение ЛОДС:

Приравнивая коэффициенты при подобных членах этого равенства, получим выражения для через :

Итак, общее решение ЛОДС имеет вид:

2) Найдем частное решение ЛНДС по методу вариации произвольных постоянных:

(*)

Для нахождения функций составим систему уравнений:

где любая постоянная, пусть тогда:

Подставим в (*):

Упростим и :

Итак, частное решение ЛНДС составляют функции:

3) Запишем общее решение ЛНДС:

Пример 2. Решить систему:

в матричном виде.

Решение.

Обозначения:

Тогда данная система запишется в матричном виде:

1) Сначала решим однородную систему:

Ее характеристическое уравнение:

Найдем собственные векторы для каждого собственного значения матрицы А.

Пусть соответствует вектор

Тогда

Значит: т.е.

Пусть соответствует вектор

Тогда

Значит: т.е.

Итак, фундаментальная система решений ЛОДС:

Тогда фундаментальная матрица Ф (x) для ЛОДС имеет вид:

Следовательно, общее решение ЛОДС запишется в виде:

где и – произвольные постоянные.

2) Методом вариации произвольных постоянных найдем частное решение ЛНДС:

Тогда

Вычислим

Значит:

Вычислим интегралы:

В результате получим:

Получили частное решение ЛНДС:

Следовательно, можно записать общее решение ЛНДС:

Пример 3. Решить систему:

Решение.

1) Решим соответствующую ЛОДС:

Ее характеристическое уравнение имеет вид:

Пусть общим решением ЛОДС будут функции:

где произвольные постоянные, постоянные, которые надо выразить через с помощью подстановки в первое уравнение ЛОДС:

Приравняем коэффициенты при и

Следовательно, общее решение ЛОДС составляют функции:

2) Найдем частное решение ЛНДС методом неопределенных коэффициентов.

где матрица-столбец из многочленов первой степени (m =1).

Подставляя , , , в заданную систему (ЛНДС) и приравнивая в полученных равенствах коэффициенты при подобных слагаемых, получим систему относительно неизвестных , , , :