Алгоритм построения общего решения системы (5)

1) Найти все собственные значения матрицы A, т.е. числа , удовлетворяющие уравнению:

Это уравнение имеет ровно корней с учетом их кратности.

 

2) Найти все линейно независимые собственные и присоединенные к ним векторы матрицы А (их всего должно быть ).

 

3) Найти функции линейно независимые решения системы (5). При этом используют следующие случаи.

 

а) Случай простого собственного значения

 

Если простое собственное значение матрицы А и соответствующий ему собственный вектор А, тогда числу в фундаментальной системе решений ЛОДС (5) соответствует функция-столбец:

 

б) Случай кратного собственного значения

 

Если кратное собственное значение матрицы А (кратности l) и собственный и присоединенные к нему линейно независимые векторы (, тогда числу в фундаментальной системе решений системы (5) соответствуют функции-столбцы:

(6)

 

Замечание. Если то матрица А имеет собственное значение той же кратности , что и число . Построенные по формулам (6) функции будут в этом случае комплекснозначными. Выделив в каждой из них действительную и мнимую части, получим набор из действительных линейно независимых решений ЛОДС (5), отвечающих паре собственных значений в фундаментальной системе решений.

 

Примеры с решениями

 

Пример 1. Решить систему:

Решение. Это ЛОДС второго порядка. Решим по методу Эйлера:

Подставим в заданную систему:

Получим однородную систему линейных уравнений относительно и . Чтобы эта система имела ненулевое решение, определитель ее должен быть равен нулю:

Это характеристическое уравнение данной системы. Найдем его корни.

Значит, общее решение данной системы можно записать в виде:

где и произвольные постоянные, а и выразим через и при подстановке и в первое уравнение системы. Сначала найдем:

Подставим в первое уравнение данной системы:

Разделим это равенство на

Приравнивая коэффициенты при и , получим выражения для и через и

Следовательно, общее решение данной системы запишется в виде:

 

Пример 2. Решить систему:

Решение. Приведем данную систему к нормальному виду. Для этого сначала исключим

(*)

Теперь из уравнения (*) подставим в первое уравнение данной системы:

(**)

Полученные уравнения (*) и (**) составят систему в нормальном виде:

Решим эту систему методом Эйлера:

Определитель этой системы должен быть равным нулю:

Получим характеристическое уравнение данной системы. Найдем его корни:

Значит, общее решение данной системы можно записать в виде:

где и произвольные постоянные, а и выразим через и при подстановке и в первое уравнение системы. Для этого найдем

Подставим в первое уравнение данной системы:

Разделим это равенство на

Приравнивая коэффициенты при и , получим выражения и через и

Следовательно, общее решение данной системы запишется в виде:

 

Пример 3. Решить задачу Коши:

Решение. Решим систему методом Эйлера:

Подставим в данную систему:

Определитель полученной системы должен быть равен нулю:

Получим характеристическое уравнение данной системы. Найдем его корни.

Значит, общее решение данной системы можно записать в виде:

где и произвольные постоянные, а и выразим через и при подстановке и в первое уравнение системы.

Для этого найдем

Подставляем в первое уравнение данной системы:

Приравнивая коэффициенты при и , получим выражения и через и

Следовательно, общее решение данной системы запишется в виде:

Найдем решение задачи Коши при начальных условиях:

Подставим в общее решение

Значит, частным решением системы, удовлетворяющим начальным условиям, являются функции:

 

Пример 4. Решить систему:

Решение. Эта система третьего порядка относительно неизвестных функций Решим ее матричным способом.

Обозначим матрицы-столбцы:

и и матрицу из коэффициентов системы:

Тогда данную систему можно записать в матричном виде:

1) Найдем собственные значения матрицы А из характеристического уравнения:

, т.е.

2) Найдем собственные векторы А, соответствующие

Получим ступенчатый вид Гаусса матрицы А.

Решим систему

Пусть тогда Значит, собственный вектор

 

3) Найдем присоединенные векторы и к вектору

Получим ступенчатый вид Гаусса.

Пусть тогда

Пусть

Итак, первый присоединенный вектор к

Найдем еще один присоединенный к вектор :

Получим ступенчатый вид Гаусса.

Пусть тогда

Пусть

Итак, второй присоединенный вектор к

Векторы линейно независимые.

 

4) Построим фундаментальную систему решений данной ЛОДС.

 

Следовательно, общее решение ЛОДС:

где произвольные постоянные.

 

Пример 5. Решить систему:

Решение. Эта система третьего порядка относительно неизвестных функций Решим ее матричным способом.

Обозначим матрицы-столбцы:

, и матрицу из коэффициентов системы:

Тогда данную систему можно записать в матричном виде:

1) Найдем собственные значения матрицы А из характеристического уравнения:

Получим кратности 2 и

2) Найдем собственные векторы А, соответствующие

Получим ступенчатый вид матрицы А.

свободные неизвестные, базисная неизвестная.

Пусть тогда

Итак,

Пусть тогда

Итак,

Получим и два линейно независимых собственных вектора, соответствующие значению

 

3) Найдем собственный вектор матрицы А, соответствующий

Получим ступенчатый вид Гаусса.

Пусть Тогда

свободная неизвестная, базисные неизвестные.

Пусть , тогда

Итак, третий собственный вектор, соответствующий

Полученные векторы линейно независимые.

 

4) Построим фундаментальную систему решений данной ЛОДС.

Следовательно, общее решение ЛОДС:

=

где произвольные постоянные.

Примеры

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

Решить задачу Коши:

 

16.

17.

18.

19.

20.

 

Ответы