Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Определения и методы решения

Определение 1. Уравнение вида:

(1)

где и – заданные непрерывные функции на называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ). Если при то уравнение имеет вид:

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ). А если при то уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Метод решения ЛНДУ

1) Метод вариации произвольной постоянной:

· сначала решить соответствующее ЛОДУ, которое является уравнением с разделяющимися переменными:

(2)

· заменить в формуле (2) постоянную на неизвестную функцию и подставить это выражение вместо в уравнение (1), предварительно найдя

· из полученного уравнения найти функцию

· записать ответ:

где произвольная постоянная.

2) Метод Бернулли:

· выполнить в уравнении (1) замену Бернулли:

(3)

· приравнять к нулю выражение

и найти отсюда любое частное решение

· подставить полученную функцию в уравнение (3) и найти общее решение из этого уравнения;

· записать ответ:

где произвольная постоянная.

Уравнение Бернулли

Определение 2. Уравнение вида

где и (4)

называется уравнением Бернулли с показателем .

Уравнение (4) приводится к ЛНДУ(1) с помощью замены:

После этой замены уравнение (1) приводится к следующему:

Это уравнение ЛНДУ относительно функции Его можно решать также с помощью замены Бернулли. Но можно и уравнение (4), не проводя замену к функции , решать методом замены Бернулли непосредственно. При этом функция будет частным решением уравнения

а функция будет находиться из уравнения

Замечание 1. При таком решении при решение будет всегда потеряно.

Замечание 2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка становятся линейными или уравнениями Бернулли, если в них поменять ролями искомую функцию и независимую переменную .

Примеры с решениями

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Уравнение имеет вид (1), где Решим его двумя способами.

Способ 1 (метод вариации постоянной)

1) Решим сначала ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

Это уравнение с разделяющимися переменными:

, где произвольная постоянная.

2) Решение данного уравнения ищем в таком же виде, но считаем переменной т.е.

Найдем и подставим функцию в заданное уравнение:

где произвольная постоянная. Следовательно, общим решением заданного дифференциального уравнения будет:

Способ 2 (метод Бернулли)

Выполним в заданном уравнении замену Бернулли:

. (*)

1) Найдем функцию из уравнения:

где любое число.

Но так как нас интересует частное решение , то выберем значение :

2) Найдем функцию решая уравнение (*) при

где – произвольная постоянная.

Следовательно, общее решение заданного уравнения можно записать:

Ответ: .

Пример 2. Решить задачу Коши:

Решение. Заданное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Решим его методом Бернулли. Для этого сделаем замену:

которая приведет к следующему уравнению:

(**)

1) Функцию найдем из уравнения:

где любое число,

поэтому возьмем , т.е.

2) Найдем функцию из уравнения (**) при

где – произвольная постоянная.

Общее решение данного уравнения:

В полученном общем решении найдем так, чтобы удовлетворялось условие:

Значит, решением задачи Коши является функция

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение:

Решение. Данное уравнение не является линейным относительно функции Но если учесть, что

то уравнение можно переписать в виде:

(5)

которое является линейным уравнением относительно функции Решим полученное уравнение методом вариации постоянной:

1) Сначала решаем ЛОДУ:

2) Пусть тогда

Подставим эту функцию в уравнение (5):

где – произвольная постоянная.

Следовательно, общее решение уравнения (5) имеет вид:

Чтобы найти общее решение заданного уравнения, заметим, что при переходе от данного уравнения к уравнению (5) могло быть потеряно решение . Действительно, подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что – решение данного уравнения и оно не попадает в общее решение уравнения (5) ни при каком значении Поэтому записываем его в ответ.