Каждой обобщенной координате соответствует обобщенный импульс:
Рассмотрим функцию 
:
перейдем от 
к 
Здесь 
- функция переменных 
и 
. 
- отсюда находим 
. Это и есть преобразование Лежандра.
Рассмотрим функцию Лагранжа 
. От 
и 
перейдем к и 
:
- обобщенный импульс
используя уравнение Лагранжа 
, получим:
Мы перешли к переменным 
, 
, 
. По определению:
- функция Гамильтона.
Выразим через и . Из получаем 
. Запишем 
:
Сравнивая два этих выражения, получаем:
Это уравнения движения Гамильтона, их так же называют каноническими. Их 
штук. В отличие от 
дифференциальных уравнений Лагранжа, которые были 2-го порядка, эти дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения уравнений надо задать начальных условий, или динамических переменных в какой-то момент времени: 
и 
. и - динамические переменные в методе Гамильтона.
Обратимся к равенству 
. Величины и называют канонически сопряжёнными величинами (по Гамильтону). Канонические преобразования в методе Гамильтона служат для перехода от одних динамических переменных к другим.
Функцию Гамильтона можно также получить ещё с помощью вариационного метода.
Фазовое пространство.
В методе Гамильтона рассмотрим мерное пространство, где по осям откладываются переменные 
, это и есть фазовое пространство. Точка в нём – фазовая точка. Здесь каждая точка описывает определённое динамическое состояние системы. При движении системы, фазовая точка описывает траекторию, называемую фазовой траекторией.
Функция Гамильтона и её свойства.
Функция Лагранжа задаётся неоднозначно, т.е.
, где 
приводят к одним и тем же уравнениям движения.
То же самое справедливо и для функции Гамильтона:
, где 
Функция Гамильтона простейших систем.
1. Свободная материальная точка:
Ее потенциальная энергия равна нулю, тогда 
Получим 
для данного случая:
Используем 
, тогда получим:
2. Система свободных материальных точек:
3. Замкнутая система 
материальных точек
, где 
4. материальных точек во внешнем поле:
5. материальных точек в стационарном внешнем поле:
- зависит только от 
Отличие 5-го и 3-го случая заключается в том, что в 5-м случае 
-составляющая во внешнем поле, она аддитивна - 
; если взаимодействие частиц с внешним полем одинаково, то 
.
6. Замкнутая система двух материальных точек:
в силу однородности и изотропности пространства можем записать:
Задачи
1. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
Решение. В декартовых координатах x, y, z:
В цилиндрических координатах r, φ, z:
В сферических координатах r, θ, φ:
