Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона

Каждой обобщенной координате соответствует обобщенный импульс:

 

Рассмотрим функцию :

перейдем от к

Здесь - функция переменных и . - отсюда находим . Это и есть преобразование Лежандра.

Рассмотрим функцию Лагранжа . От и перейдем к и :

- обобщенный импульс

используя уравнение Лагранжа , получим:

Мы перешли к переменным , , . По определению:

- функция Гамильтона.

Выразим через и . Из получаем . Запишем :

Сравнивая два этих выражения, получаем:

 

Это уравнения движения Гамильтона, их так же называют каноническими. Их штук. В отличие от дифференциальных уравнений Лагранжа, которые были 2-го порядка, эти дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения уравнений надо задать начальных условий, или динамических переменных в какой-то момент времени: и . и - динамические переменные в методе Гамильтона.

Обратимся к равенству . Величины и называют канонически сопряжёнными величинами (по Гамильтону). Канонические преобразования в методе Гамильтона служат для перехода от одних динамических переменных к другим.

Функцию Гамильтона можно также получить ещё с помощью вариационного метода.

 

Фазовое пространство.

 

В методе Гамильтона рассмотрим мерное пространство, где по осям откладываются переменные , это и есть фазовое пространство. Точка в нём – фазовая точка. Здесь каждая точка описывает определённое динамическое состояние системы. При движении системы, фазовая точка описывает траекторию, называемую фазовой траекторией.

 

Функция Гамильтона и её свойства.

Функция Лагранжа задаётся неоднозначно, т.е.

, где

приводят к одним и тем же уравнениям движения.

То же самое справедливо и для функции Гамильтона:

, где

 

Функция Гамильтона простейших систем.

1. Свободная материальная точка:

Ее потенциальная энергия равна нулю, тогда

Получим для данного случая:

Используем , тогда получим:

2. Система свободных материальных точек:

 

3. Замкнутая система материальных точек

 

, где

 

4. материальных точек во внешнем поле:

 

5. материальных точек в стационарном внешнем поле:

 

- зависит только от

Отличие 5-го и 3-го случая заключается в том, что в 5-м случае -составляющая во внешнем поле, она аддитивна - ; если взаимодействие частиц с внешним полем одинаково, то .

6. Замкнутая система двух материальных точек:

в силу однородности и изотропности пространства можем записать:

 

Задачи

1. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

Решение. В декартовых координатах x, y, z:

В цилиндрических координатах r, φ, z:

В сферических координатах r, θ, φ: