Удобно ввести:
-векторный потенциал
-скалярный потенциал
однозначно определяют электромагнитное поле
Градиентная инвариантность.
Существует преобразование, которое не меняет полевых характеристик . Таким преобразованием является градиентное:
Здесь 
– произвольная функция координат и времени 
-инвариантность полевых характеристик
относительно градиентных преобразований.
Аналогично для 
:
На потенциалы 
могут быть наложены произвольные, удобные для исследования ограничения – калибровки потенциалов, т.к. - произвольная.
Функция.
Пусть имеется функция Хевисайда:
Ясно, что кроме 
, производная везде равна нулю. Рассчитаем интеграл:
, 
, 
Рассмотрим этот же случай, но картинка смещена на 
:
Интегральное одномерное соотношение:
Существует множество способов моделирования подобных функций.
Если 
, то (3) это: 
Рассмотрим простейший случай.
- площадь под графиком функции:
Делим 
пополам.
И так далее до бесконечности. Это одна из простейших моделей 
-функции.
Объёмная плотность точечного заряда.
Рассмотрим систему из точеченого заряда 
Здесь возникает необходимость использовать -функцию.
Тогда:
Это соответствует случаю, когда заряд помещён в начало координат, а плотность заряда ищется в точке, с радиус-вектором 
. 
Если же заряд помещён не в начало отсчёта, то плотность заряда перепишется в следующем виде:
В случае системы точечных зарядов имеем:
Для изображения плотности точечного источника всегда используется -функция.
Закон сохранения заряда.
Запишем уравнение Максвелла: 
. Подействуем на него оператором 
скалярно. Получаем:
Но дивергенция всякого ротора равна нулю, поэтому в результате получаем:
- уравнение непрерывности
Проинтегрируем обе части этого уравнения по некоторому объёму:
, где 
-единичный вектор нормали
определяет количество заряда выносимого через поверхность объёма. Если 
- острый, то заряд выносится из объёма и -положителен. Если тупой, то заряд приходит в объём и 
- имеет знак минус.
Типы калибровок.
Перепишем уравнения Максвелла:
1.Калибровка Лоренца
Тогда уравнение первое уравнение Максвелла перепишется в следующем виде:
- уравнение Даламбера
Это уравнение есть – неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных.
- оператор гиперболического типа.
Для 4-го уравнения Максвелла имеем:
Все, имеющие физический смысл, результаты должны быть градиентно-инвариантыми:
В силу калибровки Лоренца получаем:
Т.е. функция должна удовлетворять однородному уравнению Даламбера (его ещё называют волновым уравнением)
2.Калибровка Кулона
- калибровка Кулона
Уравнение (А) перепишется в следующем виде:
- уравнение Пуассона.
Если же 
(в пустоте), то уравнение Пуассона принимает вид:
-уравнение Лапласа.
получаем, что функция должна удовлетворять уравнению:
3.Калибровка поперечных волн
Полагаем 
есть функция только координат.
Значит функция должна удовлетворять уравнению:
