Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы

Теоретическая механика и теория поля

(конспект лекций для ЭКТ-2)

Г.

§1. Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы........................................................ 4

§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП)..................................... 5

§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия)................................................................................ 6

§4. Функция Лагранжа и её свойства........................................................................................................ 7

§5. Правило суммирования Эйнштейна................................................................................................... 7

§6. Функция Лагранжа простейших систем............................................................................................. 8

§7. Интегралы движения в методе Лагранжа........................................................................................ 11

§8. Преобразование Галилея..................................................................................................................... 11

§9. Свойства симметрии пространства и времени............................................................................... 11

§10. С и l системы........................................................................................................................................ 13

§11. Циклические координаты.................................................................................................................. 14

§12. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной...................................................... 14

§13. Особенности движения частицы в центральном поле................................................................. 16

§14. Одномерный эффективный потенциал........................................................................................... 17

§15. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона........................ 17

§16. Фазовое пространство........................................................................................................................ 19

§17. Функция Гамильтона и её свойства................................................................................................ 19

§18. Функция Гамильтона простейших систем..................................................................................... 19

§19. Интегралы движения в методе Гамильтона.................................................................................. 21

§20. Скобки Пуассона и их свойства........................................................................................................ 21

§21. Малые колебания и свойства потенциальной энергии............................................................... 25

§22. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение................................. 25

§23. Колебания с n степенями свободы................................................................................................... 28

§24. Затухающие одномерные колебания............................................................................................... 34

§25. Элементы тензорного анализа в классической механике........................................................... 35

§26. Оператор .......................................................................................................................................... 37

§27. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме............................................... 38

§28. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме......................................................................... 38

§29. Градиентная инвариантность........................................................................................................... 38

§30. -функция........................................................................................................................................... 39

§31. Объёмная плотность точечного заряда........................................................................................... 40

§32. Закон сохранения заряда.................................................................................................................... 41

§33. Типы калибровок................................................................................................................................ 41

§34. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии................ 44

§35. Теорема Стокса.................................................................................................................................... 45

§36. Функциональные соотношения различных полей....................................................................... 46

§37. Тензоры и их свойства............................................................................................................ 47

§38. Условия на границе раздела двух сред............................................................................................ 48

§39. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде........................ 51

§40. Приближение линейного тока........................................................................................................... 53

§41. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля............................ 54

§42. Условия квазистационарности поля............................................................................................... 55

§43. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля................................ 56

§44. Функция Грина уравнения Гельмгольца....................................................................................... 57

§45. Уравнения Максвелла электромагнитных волн в вакууме....................................................... 58

§46. Волновое уравнение в случае вакуума........................................................................................... 59

§47. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме...... 59

§48. Плоская монохроматическая волна................................................................................................ 61

§49. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.................. 61

§50. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.................. 62

§51. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.................................................. 62

Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»............................................................... 63

Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение...................................... 68

Экзаменационные вопросы по курсу «Теоретическая механика и теория поля».......................... 74

Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение (от А.Е.Широкова).. 76

Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы.

Пусть число степеней свободы равно . Для задания пространственного положения системы необходимы координаты.

– размерность пространства.

– число материальных точек.

числу координат, с помощью которых можно задать положение материальных точек.

– радиус вектор а-той точки.

Если имеются связи, т.е. ограничения, накладываемые на движение системы, причём выраженные в форме уравнений, содержащих эти координаты, то число независимых координат будет меньше на число этих связей.

- все радиус векторы.

, , где k – число связей.

Такие связи называются голономными. Если присутствует время (t) в уравнениях, то связи – нестационарные.

Для вычисления числа степеней свободы можем записать формулу:

Любые независимые переменные, полностью определяющие пространственное положение системы, называются обобщёнными координатами.

Виды координат:

Сферические .

Декартовы .

И другие.

Графическое пояснение:

 

Вывод данных формул элементарен по Рис.1

- i -тая компонента.

Рассмотрим пример:

Дан математический маятник (Рис.2).

- это n-мерный вектор. Здесь n=1, и уравнения связи имеют вид:

где .

- уравнение связи.

Определим число степеней свободы:

Тогда число степеней свободы равно единице.