Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной

Дана замкнутая система двух материальных точек (тел). Для замкнутой системы функция Лагранжа явно не зависит от времени, значит, потенциальная энергия является функцией только координат. Потенциальная энергия – энергия взаимодействия между телами.

Данная система обладает следующими свойствами:

1. Пространство однородно и изотропно. Это значит, что систему можно транслировать.

Вследствие однородности пространства:

Мы можем вращать вектор как хотим, решение от этого не измениться (следствие изотропности). Введём новые координаты:

- описывает положение центра масс (система как целое).

- описывает относительное положение точек.

где .

Таким образом .

Имеем:

- приведённая масса.

- общая масса.

В итоге:

Была функция Лагранжа , а стала . И в первом и во втором случае имеем 6 степеней свободы, т.е. мы ничего не потеряли.

Здесь - циклическая координата. Тогда

, тогда:

- интеграл движения

- закон сохранения импульса

;

Итак, задача двух тел свелась к решению двух задач:

1.Свободная материальная точка массой .

2.Материальная точка массы во внешнем центральном стационарном поле(относительное движение). зависит от модуля , значит поле центральное или сферически-симметричное.

Особенности движения частицы в центральном поле.

- закон взаимодействия.

здесь , ,

- но это равенство имеет место, лишь, если начало координат выбрано в центре поля.

По функции можно показать, что - интеграл движения. Далее будем писать без индекса - .

Так как , то сохраняется модуль и направление вектора. Значит, движение осуществляется в плоскости, то есть имеет две степени свободы. Перейдем к полярным координатам: