Дана замкнутая система двух материальных точек (тел). Для замкнутой системы функция Лагранжа явно не зависит от времени, значит, потенциальная энергия является функцией только координат. Потенциальная энергия – энергия взаимодействия между телами.
, 
Данная система обладает следующими свойствами:
1. Пространство однородно и изотропно. Это значит, что систему можно транслировать.
Вследствие однородности пространства:
.
Мы можем вращать вектор 
как хотим, решение от этого не измениться (следствие изотропности). Введём новые координаты:
- описывает положение центра масс (система как целое).
- описывает относительное положение точек.
где 
.
Таким образом 
.
, 
, 
Имеем:
, 
- приведённая масса.
- общая масса.
В итоге:
Была функция Лагранжа 
, а стала 
. И в первом и во втором случае имеем 6 степеней свободы, т.е. мы ничего не потеряли.
Здесь - циклическая координата. Тогда
, тогда:
- интеграл движения
- закон сохранения импульса
; 
Итак, задача двух тел свелась к решению двух задач:
1.Свободная материальная точка массой 
.
2.Материальная точка массы 
во внешнем центральном стационарном поле(относительное движение). 
зависит от модуля , значит поле центральное или сферически-симметричное.
Особенности движения частицы в центральном поле.
- закон взаимодействия.
здесь 
, 
, 
- но это равенство имеет место, лишь, если начало координат выбрано в центре поля.
По функции 
можно показать, что 
- интеграл движения. Далее будем писать без индекса - 
.
Так как , то сохраняется модуль и направление вектора. Значит, движение осуществляется в плоскости, то есть имеет две степени свободы. Перейдем к полярным координатам:
- циклическая координата
тогда 
- закон сохранения для координаты .
-закон сохранения момента импульса.
Роль 
: - обобщённая координата, - обобщённый для неё импульс, т.е. 
Мы свели задачу двух тел к одномерной задаче, т.к. здесь одна обобщённая координата. Далее:
-обобщённый импульс, соответствующий координате 
здесь 
.
Одномерный эффективный потенциал.
Рассмотрим график одномерного эффективного потенциала:
, 
, 
Финитное движение – движение, происходящее в ограниченной части пространства.
(1) – инфинитное движение (гипербола).
(2) – движение (инфининтное) идет по параболе E=0.
(3) – движение (финитное) идёт по эллиптической траектории, 
и 
- точки поворота.
(4) – движение по окружности.
(5) – падение на центр тяготения.
