Рассмотрим системы с одной степенью свободы.
1. Плоский математический маятник (Рис.3).
- уравнение связи.
Число степеней свободы равно единице (см. §1).
- кинетическая энергия.
U – потенциальная энергия.
U=mgh, где h – уровень подъёма над положением равновесия.
Имеем:
Рассмотрим случай малых колебаний:
, φ – измеряется в радианах.
L – длина дуги, R – радиус окружности. Тогда:
Функция Лагранжа:
Уравнение движения:
Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо два начальных условия:
1) 
2) 
2. Линейный гармонический осциллятор (Рис.4).
k – упругость пружины,
l0 – длина пружины в недеформированном состоянии,
l – длина пружины в деформированном состоянии.
По закону Гука (для малых деформаций):
- малые деформации.
По второму закону Ньютона:
, 
, 
, где 
.
Решение аналогично случаю 1. Начальные условия:
1) 
2) 
3. Аналогично для вертикального гармонического осциллятора (Рис.5)
(По закону Гука)
В данном случае: - не является результирующей силой, а лишь возвращающей систему к положению равновесия.
Задачи
 |
1. Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).
Решение. в качестве координат берём углы φ1 и φ2, которые нити l1 и l2 образуют с вертикалью. Тогда для точки m1 имеем:
чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем её декартовы координаты x2, y2 (начало координат в точке подвеса, ось y – по вертикали вниз) через углы φ1 и φ2:
после этого получим:
окончательно:
 |
2. Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m2, точка которого (с массой m1 в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.
Решение. Вводя координату x точки m1 и угол φ между нитью маятника и вертикалью, получим:
Интегралы движения в методе Лагранжа.
Динамические переменные в методе Лагранжа – это обобщённые координаты и обобщённые скорости. Всего их 2n, они задают начальное состояние систем.
Интеграл движения – это функция динамических переменных и времени 
, сохраняющая своё значение при движении системы (в КП).
- постоянство означает, что полная производная по времени должна быть равна нулю:
При n=1 имеем:
, 
.
Преобразование Галилея.
Преобразование импульса:
Тогда:
Рассмотрим такую систему отсчёта 
, в которой полный импульс системы 
(это есть система центра масс), тогда имеем:
, 
где 
- радиус вектор центра масс
