Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Показати, що для квантового КРГ середня енергія системи однозначно виражається через статистичну суму Z:

Задача 1. Показати, що для квантового КРГ середня енергія системи однозначно виражається через статистичну суму Z:

Розв’язання. З умови нормування для розподілу маємо

звідки статистична сума становить

. (1)

Продиференціюємо цю рівність за :

Оскільки середнє значення енергії за визначенням має вигляд

, (2)

порівнюючи (2) з (1), остаточно одержимо

. (3)

Задача 2. Навести графіки розподілу Фермі–Дірака для :

а) за станами;

Б) за енергіями.

Розв’язання. Розподіл середнього числа фермі-частинок за станами має вигляд

. (1)

Графік цієї залежності можна зобразити для двох значень параметра : та деякого .

Тут - стан, енергія якого дорівнює хімічному потенціалу при (енергія Фермі). Відповідний розподіл за енергіями запишемо так:

, (2)

де - розподіл числа станів за енергіями, а - незалежна від енергії ε стала. Отже, графік розподілу (2) матиме вигляд:

Задача 3. Показати, що хімічний потенціал бозе-газу, залишаючись від’ємним, монотонно зменшується з ростом температури.

Розв’язання. Повне число N частинок бозе-газу в об’ємі V можна записати у вигляді

, (1)

де ; - спін частинок.

Продиференціюємо (1) за при сталому значенні N. Одержимо

звідки

Знак правої частини цієї рівності визначається знаком різниці . Тому при від’ємних маємо , тобто, залишаючись від’ємним, хімічний потенціал з ростом температури зменшується.