Задачі для самостійного розв’язування. 11.1. Пронормувати щільності розподілу:

11.1. Пронормувати щільності розподілу:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

11.2. Обчислити середні значення і дисперсії одновимірних випадкових величин з попередньої задачі.

11.3. Деяка система може з рівною можливістю знаходитися в станах. Яка ймовірність перебування системи в одному з цих станів?

11.4. Автоматична телефонна станція приймає в середньому за годину викликів. Яка ймовірність того, що за дану хвилину на станцію надійде викликів?

11.5. Накреслити фазову траєкторію частинки, що рухається з постійною швидкістю у напрямку, перпендикулярному: а) дзеркально відбиваючим стінкам шухляди, б) стінкам шухляди, що зроблені з гуми (відбивання відбувається без втрат механічної енергії). Розміри шухляди вздовж напрямку руху .

11.6. Визначити і накреслити фазову траєкторію частинки, яка вертикально падає, і перевірити виконання теореми Ліувілля для ансамблю таких частинок.

11.7. Ансамбль Гіббса складається з лінійних осциляторів, що рухаються у в’язкому середовищі. Показати, що для такого ансамблю теорема Ліувілля не виконується.

11.8. Показати справедливість теореми Ліувілля для ансамблю електронів, що рухаються у магнітному полі під дією сили Лоренца.

11.9. Обчислити фазові об’єми , обмежені гіперповерхнями енергії класичної і релятивістської частинок масою спокою , що рухаються в об’ємі .

Розділ 12

ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ РІВНОВАЖНОЇ

КЛАСИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

 

 

Теоретичні відомості

Ізольована система. Мікроканонічний розподіл Гіббса. Ентропія в статистичній фізиці. Одержимо фазову щільність для найпростішого випадку ізольованої (замкненої) системи. Позначимо через чисельне значення внутрішньої енергії останньої. Тоді щільність розподілу відрізнятиметься від нуля у фазовому просторі тільки на гіперповерхні постійної енергії

. (12.1)

Вимірність цієї поверхні на одиницю менша за вимірність фазового простору. Тому для виконання умови нормування (11.6) треба покласти, щоб значення на поверхні (12.1) перетворювалося на нескінченність. Отже, у випадку ізольованої системи матимемо

, (12.2)

де – -функція Дірака, – стала, яку знайдемо з умови нормування для . Формула (12.2) визначає так званий мікроканонічний розподіл Гіббса.

Узявши інтеграл від рівності (12.2) за фазовим простором, отримаємо

. (12.3)

Величина

(12.4)

має зміст щільності розподілу фазового об’єму за енергією. Збільшення фазового об’єму при зростанні енергії на можна записати через :

. (12.5)

Величину називають статистичною вагою макроскопічного стану системи.

Для побудови термодинаміки, як відомо, достатньо визначити один з її термодинамічних потенціалів. Інші величини знаходяться вже методами самої термодинаміки. При незалежних параметрах Е, V, N термодинамічним потенціалом є ентропія S. Гіббс визначив її як величину, пропорційну логарифму фазового об’єму:

(12.6)

або з точністю до постійного доданку

, (12.7)

де k – стала Больцмана.

Визначена у вигляді (12.6) чи (12.7) ентропія має усі відомі термодинамічні властивості. Саме логарифмічна залежність S від фазового об’єму надає ентропії, як екстенсивному параметру, головну властивість – адитивність. Дійсно, для невзаємодіючих підсистем з фазовими об’ємами Γ₁ і Γ₂ повинно виконуватися

. (12.8)

Покажемо, що з (12.8) випливає залежність (12.6). Продиференціюємо (12.8) спочатку за Γ₁, а потім за Γ₂. Матимемо

,

.

Позбавившись від в цих рівняннях, одержимо

. (12.9)

Незалежність фазових об’ємів Γ₁ і Γ₂ призводить до того, що права і ліва частини у (12.9) повинні дорівнювати деякій сталій, тобто в загальному випадку можна записати

,

звідки , що й виправдовує визначення (12.6).

Розрахунок фазового об’єму, статистичної ваги навіть для простих багаточастинкових систем являє складну задачу. Тому мікроканонічний розподіл використовується лише для загальнотеоретичного розгляду. Більш зручним вважається статистичне вивчення не ізольованих, але таких систем, які можуть обмінюватися з навколишнім середовищем енергією (це є й узагальненням попереднього випадку). У статистичній фізиці моделлю подібної реальної системи є система у термостаті.

 

Система у термостаті. Канонічний розподіл Гіббса. Визначимо статистичний розподіл незамкненої системи з V = const, N = const, яка знаходиться у тепловому контакті з термостатом. Нехай термостат – ідеальний газ зі своєю температурою T = const. Позначимо через енергію досліджуваної системи і через – енергію термостата. Нехай також – чисельне значення повної енергії (система + термостат). Вважатимемо, що кількість частинок у термостаті досить велика і забезпечує виконання нерівності . Систему плюс термостат можна розглядати як замкнений об’єкт, для якого виконується вже знайомий мікроканонічний розподіл

. (12.10)

Шукану щільність одержимо, узявши інтеграл від (12.10) за фазовими змінними Q і P термостата. Матимемо

, (12.11)

де – об’єм термостата. Оскільки ми зацікавлені у встановленні залежності лише від q i p, ті сталі множники, які з’являтимуться при інтегруванні, можна опустити. Отже, перепишемо (12.11) без зайвих змінних:

. (12.12)

Скористаємось тепер тим, що у підпросторі імпульсів термостата підінтегральна функція є сферично симетричною. Це дозволяє записати

,

де R – радіус -вимірної сфери, який можна розглядати як радіальну сферичну координату у підпросторі . Інші – кутові сферичні координати цього підпростору впливу на залежність від q i p не матимуть. Отже,

~ ~ , (12.13)

звідки

~ ~ . (12.14)

Тепер візьмемо до уваги, що . При це для (12.14) остаточно дає

~ . (12.15)

Розподіл із щільністю (12.15) називається канонічним розподілом Гіббса. Його можна записати у вигляді

= , (12.16)

де

(12.17)

– так званий статистичний інтеграл, який випливає з умови нормування для щільності . Величину називають модулем канонічного розподілу.

Математичний аналіз 6 N -вимірної (!) щільності (12.15) або (12.16) навіть для ідеальних газів, зрозуміло, неможливий. Але ж одновимірна щільність , в яку легко перерахувати , в цьому випадку цілком наочна. Дійсно, завдяки інваріантності ймовірності запишемо

,

звідки

. (12.18)

Враховуючи, що для ідеального газу внутрішня енергія не залежить від координат q, та згідно з (12.13) матимемо

~ dp ~

і, як наслідок, одновимірний канонічний розподіл Гіббса:

~ . (12.19)

Аналіз (12.19) можна провести і без розрахунку нормуючого множника (див. задачі 1 та 2 цього розділу). Тут лише відмітимо, що (12.19) є дзвонувата (російською мовою – “колоколообразная”) крива, яка повинна мати максимум в деякій точці та певну ширину.

Фізичний аналіз (12.16) дозволяє переписати цей розподіл у вигляді

, (12.20)

де або

. (12.21)

Справа у тому, що величина F успадковує у статистичного інтеграла Z природну залежність від характеристичних для вільної енергії термодинамічних змінних V, T і N системи. Крім того, F у (12.20) чи (12.21) за фізичною розмірністю є енергія. Тому у свій час було припущено, що цей параметр, який виник, як бачимо, з чисто статистичних міркувань, і є відповідним термодинамічним потенціалом. Покажемо, що F досить упевнено відіграє роль енергії Гельмгольца. Згадаємо з термодинаміки рівняння Гіббса–Гельмгольца і підставимо в нього замість термодинамічного потенціалу F його гіпотетичний вираз у вигляді (12.21). Одержимо

. (12.22)

Підрахуємо частинну похідну з (12.22), використовуючи (12.17). Матимемо

. (12.23)

Підставляючи (12.23) у (12.22), отримаємо

. (12.24)

Цей результат свідчить, що припущення, яке було зроблене вище, призводить до правильного статусу термодинамічної внутрішньої енергії Е як середнього за канонічним розподілом Гіббса. Виключна важливість формули (12.21) полягає у тому, що вона пов’язує статистичну фізику з термодинамікою (у певному сенсі є містком між ними) і дозволяє провести так зване статистичне обґрунтування останньої.

В межах канонічного розподілу можна одержати вираз та дати статистичне тлумачення ентропії S системи. Для цього запишемо зв’язок між термодинамічними внутрішньою та вільною енергіями системи , звідки . Маючи на увазі, що термодинамічна внутрішня енергія E є середнім значенням гамільтоніана за канонічним розподілом, простежимо низку рівностей:

. (12.25)

Отже, ентропія виявляється пропорційною середньому значенню логарифма фазової щільності. Тобто S не є середнім значенням якоїсь механічної величини, а визначається виключно імовірнісними умовами, в яких перебуває система.

 

Конфігураційний інтеграл. Конфігураційний розподіл. Статистичне обґрунтування термодинаміки. Виявляється, що у конкретних випадках дослідження багаточастинкових класичних (і квантових) систем, розрахунків середніх значень, флуктуацій основна задача зводиться до обчислення статистичного інтегралу. Отже, повернемося до його визначення (12.17) з метою обчислення Z.

З урахуванням (11.2) статистичний інтеграл (12.17) можна записати конкретніше:

. (12.26)

Кожен з 3 N інтегралів за р_і дорівнює . Тому величину Z матимемо у вигляді

, (12.27)

де

. (12.28)

Вираз (12.28) називають конфігураційним інтегралом. Як бачимо, Q_N залежить від вигляду потенціальної енергії взаємодії частинок і саме цим викликає (окрім ідеальних систем) головну складність при остаточному розрахуванні Z.

Конфігураційний інтеграл Q_N пов’язаний з таким важливим розподілом, який випливає з канонічного , позначається і називається конфігураційним розподілом. За визначенням

. (12.29)

Отже, конкретніше

. (12.30)

Розглядаючи b як нормуючий множник, остаточно можна записати

. (12.31)

Рівність (12.31) й виражає зв’язок між Q_N і .

Оскільки статистичний інтеграл Z в загальному випадку визначається величиною Q_N, процедура статистичного обґрунтування термодинаміки полягатиме у виразі основних параметрів останньої через конфігураційний інтеграл Q_N. У задачі 4 цього розділу ця процедура виконується для тиску (термічне рівняння стану) і для внутрішньої енергії (калоричне рівняння стану) . У задачі 5 термодинамічна ентропія виражається через Z. Пропонуємо самостійно записати її через Q_N. Аналогічно можна одержати довільні властивості термодинамічної системи у залежності від Q_N.

 

Відкрита система. Великий канонічний розподіл Гіббса. Найбільш загальним випадком серед умов, в яких може знаходитись досліджувана система, є умова, коли можливий обмін і енергією, і частинками для цієї системи з навколишнім середовищем. Така система називається відкритою. Цілком природно, що для неї реалізується розподіл, який передбачає змінність кількості частинок N. Такий розподіл із щільністю називається великим канонічним розподілом Гіббса. Величину можна одержати аналогічно процедурі (12.10) – (12.15). Наведемо цей результат без виведення. Отже,

, (12.32)

де μ – хімічний потенціал, – енергія (гамільтоніан) системи з урахуванням змінного параметра N, – так звана велика статистична сума, яка знаходиться з умови нормування

(12.33)

і має вигляд

. (12.34)

Множник , як і у попередньому випадку (канонічний розподіл), можна представити через експоненту: , звідки

. (12.35)

Величина виявляється великим термодинамічним потенціалом. Це підтверджується обчисленням середніх значень і за розподілом (12.35), яке дає результат відповідно і . Нагадаємо, що в термодинаміці саме та .

Як побачимо далі, значну роль великий канонічний розподіл відіграє у квантовій статистичній фізиці, де суттєво змінною є величина N.