Дискретная случайная величина Х называется биномиальной с параметрами
n, p ( nÎN, 0<p<1 ), если её возможные значения 0, 1, 2, …, n, а их вероятности определяются по формуле Бернулли 
, где 
.
Математическое ожидание и дисперсия биноминальной случайной величины выражается через её параметры следующим образом:
; 
.
10.1. Случайная величина X распределена биномиально с параметрами n = 4, p = 0,5. Найти Р { 0,5 £ X £ 2,5 }.
10.2. Вероятность выигрыша в лотерею по одному лотерейному билету равна 0,05. Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадают выигрыши, если приобретено 40 билетов.
10.3. В партии 90% стандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных.
10.4. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появления события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M[X] = 0,9.
10.5. Завод изготавливает 80% изделий первого сорта и 20% второго. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа изделий первого сорта в партии из 1000 отобранных случайным образом изделий.
10.6. Найти постоянную вероятность попадания в цель при каждом выстреле и число произведённых выстрелов, если среднее число попаданий равно 72, а среднее квадратическое отклонение случайной величины, характеризующей число попаданий, равно 6.
10.7. Два игральных кубика одновременно бросают два раза. Написать закон распределения случайной величины Х – числа выпадения чётного числа очков на двух игральных кубиках.
10.8. Вероятность того, что лампа остается исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Написать закон распределения случайной величины Х – числа неисправных ламп после 1000 часов работы из трех имеющихся. Найти числовые характеристики данной случайной величины.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА.
ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ
Дискретная случайная величина Х называется пуассоновской с параметром
l ( l>0 ), если её возможные значения 0, 1, 2, …, а их вероятности 
.
Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской случайной величины выражается через параметр l следующим образом:
.
Пуассоновская случайная величина является предельным случаем биномиальной случайной величины при 
, так, что 
, где l – постоянная величина.
Потоком событий называют последовательность событий, происходящих в случайные моменты времени. Простейшим ( пуассоновским ) называют поток событий, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит от расположения на оси.
Свойство отсутствия последействия состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.
Свойство ординарности состоит в том, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.
Интенсивностью потока l называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Если постоянная интенсивность потока l известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона:
Для справки: значения функции 
| х | –1 | –2 | –3 | –4 |
|
| 0,368 | 0,135 | 0,050 | 0,018 |
11.1. Случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром l = 3. Найти Р { 0,5 £ X £ 2,5 }.
11.2. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
11.3. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берётся на пробу 20 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в нём будет обнаружен хотя бы один микроб.
11.4. На ремонтную базу поступает в среднем 16 заявок в день (рабочий день восьмичасовой). Поток заявок можно считать простейшим. Найти вероятность того, что а) за один час не поступит ни одной заявки; б) за два часа поступит не менее двух и не более трёх заявок.
11.5. Поток неисправностей (сбоев), возникающих при работе автоматической линии, можно считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно 1,5. Найти вероятность того, что за двое суток произойдёт а) один сбой; б) более двух сбоев.
11.6. Поток сбоев, возникающих при работе ЭВМ, можно считать простейшим потоком с плотностью 
. Для решения задачи на ЭВМ требуется 20 часов машинного времени, причём при наличии сбоя приходится начинать решение сначала. Какова вероятность того, что решение будет получено с первой попытки?
11.7. Поток заявок, поступающих в некоторую систему массового обслуживания, достаточно точно моделируется простейшим. При изучении опытных данных рассматривалось 200 выбранных наудачу промежутков времени длиной в две минуты. Оказалось, что число тех из них, в которых не было зарегистрировано ни одной заявки, равно 27. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа заявок за один час.
11.8 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьётся, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.
11.9. Поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, можно считать простейшим. Среднее число вызовов за один час равно 60. Найти вероятность того, что а) за две минуты не будет ни одного вызова; б) за три минуты число вызовов будет больше двух; в) за четыре минуты число вызовов будет меньше четырёх.
11.10. Корректура в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не меньше трех опечаток.
11.11. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 секунд испускало в среднем 3,87 a-частиц. Найти вероятность того, что за 1 секунду это вещество испустит хотя бы одну a-частицу.
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Одномерная непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной в промежутке [а; b], которому принадлежат все возможные значения Х, если её плотность сохраняет в этом промежутке постоянное значение, а именно: 
Функция распределения 
Числовые характеристики равномерного распределения выражаются через его параметры по формулам 
.
12.1. Найти числовые характеристики случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (2; 8).
12.2. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее трех минут. Чему равно среднее время ожидания автобуса?
12.3. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
12.4. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более, чем на 20 с.
12.5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04, б) большая 0,05. Чему равна средняя ошибка при отсчете?
12.6. Автобусы некоторого маршрута идут точно по расписанию с интервалом в 10 минут. Пассажир подходит к остановке в случайный момент времени, так что все моменты его появления на остановке в интервале между двумя автобусами можно считать равновозможными. Найти вероятность того, что время ожидания пассажиром автобуса будет не более шести и не менее двух минут.
