Свойства функции распределения

 

1 (Это – свойство вероятности, а - вероятность).

2 - неубывающая функция по каждому из своих аргументов. (В самом деле, если , то событие включено в событие , следовательно, его вероятность меньше)

3 (события - невозможные, поэтому их вероятность равна нулю).

4 (событие достоверно).

5 = - - +

Геометрически, - площадь

полосы левее и ниже точки ,

Вычитая из нее и ,

мы два раза вычтем площадь

полосы левее и ниже точки .

Для того, чтобы получить

площадь прямоугольника –

левую часть равенства, надо

вычитать эту площадь один раз,

поэтому надо добавить ее, т.е.

в правую часть равенства.

6. непрерывна слева по каждому из аргументов

7. . Так как событие достоверно, то пересечение событий и есть событие . Поэтому первое равенство справедливо. Аналогично доказывается справедливость второго равенства.

Двумерная случайная величина (X,Y) дискретна, если X, Y - дискретные случайные величины. Для нее составляется таблица распределения – аналог ряда распределения для одномерной случайной величины.

 

 

X	Y
y1	y2	…..	ym	PX
x1	p11	p12	…	p1m	pX1
x2	p21	p22	…	p2m	pX2
…….	…	…	…	…	…
xn	pn1	pn2	…	pnm	pXn
PY	pY1	pY2	…	pYm

 

Здесь p_nm = , p_Ym = = p_1m+ p_2m +…+p_nm,

p_Xn = p_n1 + p_n2 + … +p_nm.

График функции распределения для двумерной случайной величины напоминает «лестницу», уровень ступеней которой изменяется скачком на p_ij при переходе через точку (x_{i ,} y_j) в положительном направлении по оси OX и по оси OY. Если зафиксировать x = x_i, то при увеличении y эти скачки будут на p_i1, p_i2, … p_im (от нуля до p_Xi). Если зафиксировать y = y_j, то при увеличении x скачки будут на p_1j, p_2j, … p_nj (от нуля до p_Yj). Нижние ступени (при x x₁ и y y₁) находятся на нулевом уровне, самая верхняя ступень (при x>x_n, y>y_m) находится на уровне 1. Если зафиксировать x > x_n то при увеличении y эти скачки будут на p_Y1, p_Y2, … p_Ym (от нуля до 1). Если зафиксировать y > y_m, то при увеличении x скачки будут на p_X1, p_X2, … p_Xn (от нуля до 1).

Пример. Проводятся два выстрела в мишень. При каждом выстреле вероятность попадания p, вероятность промаха q = 1- p. Случайная величина X_i – число попаданий при i – том выстреле. Найдем закон распределения случайного вектора (X₁, X₂)= .

X	Y
y1=0	y2=1	PX
x1=0	q2	qp	pX1=q
x2=1	pq	p2	pX2=p
PY	pY1=q	pY2=p

 

Построим функцию распределения

. В самом деле, при – событие{X<x,Y<y} - невозможное, при (x>1, y>1) событие {X<x,Y<y} – достоверное.

При событие {X<x,Y<y} представляет собой событие {X=0,Y=0}. Поэтому при F(x) = P{X=0,Y=0}= q².

При событие {X<x,Y<y} представляет собой объединение несовместных событий {X=0,Y=0} и {X=0,Y=1}. Поэтому при F(x) =. P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1}= q² + pq = q(p+q)=q.Аналогично, в случае F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=0}= q² + pq = q(p+q)=q

 

Двумерная случайная величина непрерывна, если X, Y, непрерывные случайные величины и ее функцию распределения можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла от плотности распределения.

.

Двойной интеграл можно записать в виде повторных (внешний по x, внутренний по y и наоборот). Если предполагать непрерывность плотности по x и y, то, дифференцируя по переменным верхним пределам, получим

.

 

Свойства плотности.

 

1. (функция распределения – неубывающая функция).

2. (по свойству 5 функции распределения) Справедливо обобщение .

3.

4. (по свойству 4 функции распределения)

5.

6. , (Свойство 7 функции распределения)