Галкин С.В.
Краткий курс математического анализа
В лекционном изложении
Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана
(третий семестр)
Вероятность
Москва 2005
Лекция1[1].
Вероятность
В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).
Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие - исход опыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность.
Пространством элементарных событий W (исходов) называется множество всех элементарных событий (исходов). {w1, …wn …}, если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой). Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий.
Случайным событием (событием) называется подмножество пространства элементарных событий. Любое множество – это совокупность элементов. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.
Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом (w1=Г) или решкой (w1=Р). W=(Г,Р).
Пример. Бросаются две монеты W = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}
Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку.
W= {(x,y), a<x<b, c<y<d}
Достоверное событие – событие, которое всегда происходит в результате данного опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается W.
Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается Æ.
Действия над событиями.
События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиям над множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна.
Пространство W будем обозначать прямоугольником, элементарное событие – точкой прямоугольника, а каждое событие – подмножеством точек этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать.
Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А – выбор червонной карты, событие В – выбор десятки
| Суммой двух событий А и В называется событие
С = А + В (или С = А  В), состоящее из элементарных событий, принадлежащих либо А, либо В.
Пример.
С = А + В – выбор любой червонной карты или любой десятки
|
| Произведениемдвух событий А и В называется событие D = AB (или D = A  B), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А и В.
Пример. АВ – выбор десятки червей
|
| Разностьюдвух событий А и В называется событие А\В, состоящее из элементарных событий, принадлежащих А и не принадлежащих В. Пример. А\В –выбор любой червонной карты, кроме десятки Классификация событий |
Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в А, обозначим  и будем называть противоположным событием.
Пример. А –выбор червонной карты;
–выбор любой карты другой масти.. = W\А
Двасобытия А и В будем называть совместными, если каждое из них содержит хотя бы одно общее элементарное событие, т.е если АВ  Ø.
Пример. А – выбор червонной карты и
В – выбор десятки – совместные события, так как
АВ = выбор червонной десятки Ø
Если общих элементарных событий у событий А и В нет, то их будем называть несовместными событиями
(АВ = Ø).
Пример. А – выпадение четного числа очков А = {2, 4, 6}.
В – выпадение нечетного числа очков В = {1, 3, 5}
Очевидно, что А и В несовместны.
Полная группа событий – это совокупность n событий А1, А2, …, Аn, одно из которых обязательно произойдет, т.е. 
|
Свойства операций над событиями
1. 
=Ø 6. А 
= А
2. А + А = А 7. А Ø = Ø Коротко. Если А 
В, то
3. А А = А 8 
= АА + В = В
4. А + = 9. 
А В = А
5. А + Ø = А 10. 
= Ø
Коммутативность операций
А + В = В + А; А В = В А
Ассоциативность операций
А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С
