Центральный момент s-го порядка

Для дискретной случайной величины .

Для непрерывной случайной величины .

 

 

Дисперсией называется второй центральный момент случайной величины.

По свойствам математического ожидания получим . Эта формула часто применяется. Дисперсия – это характеристика рассеяния, она характеризует концентрацию кривой распределения (графика плотности распределения) около математического ожидания. Если на числовой оси расположить точки x_i с массами p_i, то дисперсия – это момент инерции системы материальных точек относительно центра тяжести m_x.

Для дискретных случайных величин .

Для непрерывных случайных величин .

Свойства дисперсии.

1) (под интегралом стоит квадрат функции).

2) (.

3) (выведите сами, вынося из под суммы или из под интеграла).

Средним квадратическим отклонением называется .

Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии , эксцесс – мера островершинности распределения , среднее арифметическое отклонение , мода – наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).

Пример. Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х₁ = 0 и х₂ = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х

 

 

xi
pi	q	p

 

Функция распределения равна ,

Математическое ожидание равно M(X) = m_x = 0 q + 1 p = p.

Если составить ряд распределения для случайной величины X², то мы получим ту же таблицу (так как 0² = 0 и 1² =1). Поэтому M(X²) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X²) – (m_x)² = p – p² = p(1-p) = pq.

 

Пример. Пусть плотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка. Такое распределение называется равномерным на отрезке [a,b]. Из условия нормировки для плотности вероятности следует

. Отсюда следует, что - плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна

. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].

,

=

=

 

 

Лекция 4

Повторные испытания.

Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д.

Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).

Рассмотрим ситуацию А.

Пусть число исходов равно двум (N = 2). Такая схема испытаний называется схемой Бернулли.

Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданию в мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промаха равна q = 1 – p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). , так как в каждом опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть один раз равна , так как стрелок может попасть при первом, втором, … n ом выстреле. ,так как два попадания (порядок не важен) должны быть размещены (выборки без возвращения) среди n выстрелов. Аналогично

- формула Бернулли.

Само распределение называют биномиальным.

В самом деле, это – коэффициенты при в разложении по степеням

производящей функции .

Из формулы Бернулли вытекают два следствия:

1) Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m₁ раз и не менее m₂ раз равна ,

2) Вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна .

Если Х имеет биномиальное распределение, то М_х = np, D_x = npq.

Пусть в ситуации А число исходов равно N, а их вероятности равны p₁…p_N. Вычислим вероятность того, что после n испытаний i – тый исход наступит раз

.

Заметим, что .

так как .

Поэтому . Это – полиномиальное распределение.

Заметим, что - это коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции .

Рассмотрим ситуацию В. Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номера испытания, так как условия испытаний различны. - это коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции при N исходах.

При двух исходах - это коэффициент при в разложении производящей функции

, где .

Примеры.

1) Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт а)три туза, б)не менее одного туза?

а) , б) .

2) Мишень для опытного стрелка содержит три круговых кольца: 10, 9, пусто. Вероятность попасть при одном выстреле в десятку – 0,2, в девятку – 0,7, в «пусто» – 0,1. Какова вероятность в серии из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза, в девятку 4 раза, в десятку 4 раза?

3) Производится три выстрела в мишень. При первом выстреле вероятность попасть в мишень равна 0,5, не попасть 0.5. При втором выстреле – соответственно 0,4 и 0.6, при третьем выстреле 0,3 и 0,7. Какова вероятность два раза попасть в мишень?

.

Вероятность не попасть ни разу равна 0,21, один раз – 0,44, два раза – 0,29, три раза – 0,06.