Для дискретной случайной величины 
.
Для непрерывной случайной величины 
. 
Дисперсией называется второй центральный момент случайной величины. 
По свойствам математического ожидания получим 
. Эта формула часто применяется. Дисперсия – это характеристика рассеяния, она характеризует концентрацию кривой распределения (графика плотности распределения) около математического ожидания. Если на числовой оси расположить точки xi с массами pi, то дисперсия – это момент инерции системы материальных точек относительно центра тяжести mx.
Для дискретных случайных величин 
.
Для непрерывных случайных величин 
.
Свойства дисперсии.
1) 
(под интегралом стоит квадрат функции).
2) 
(
.
3) 
(выведите сами, вынося 
из под суммы или из под интеграла).
Средним квадратическим отклонением называется 
.
Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии 
, эксцесс – мера островершинности распределения 
, среднее арифметическое отклонение 
, мода – наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).
Пример. Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х1 = 0 и х2 = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х
| xi | ||
| pi | q | p |
Функция распределения равна 
,
Математическое ожидание равно M(X) = mx = 0 q + 1 p = p.
Если составить ряд распределения для случайной величины X2, то мы получим ту же таблицу (так как 02 = 0 и 12 =1). Поэтому M(X2) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X2) – (mx)2 = p – p2 = p(1-p) = pq.
Пример. Пусть плотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка. Такое распределение называется равномерным на отрезке [a,b]. Из условия нормировки для плотности вероятности следует
. Отсюда следует, что 
- плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна
. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].
,
= 
= 
Лекция 4
Повторные испытания.
Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.
Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д.
Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).
Рассмотрим ситуацию А.
Пусть число исходов равно двум (N = 2). Такая схема испытаний называется схемой Бернулли.
Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданию в мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промаха равна q = 1 – p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). 
, так как в каждом опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть один раз равна 
, так как стрелок может попасть при первом, втором, … n ом выстреле. 
,так как два попадания (порядок не важен) должны быть размещены (выборки без возвращения) среди n выстрелов. Аналогично
- формула Бернулли.
Само распределение 
называют биномиальным.
В самом деле, это – коэффициенты при 
в разложении по степеням 
производящей функции 
.
Из формулы Бернулли вытекают два следствия:
1) Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m1 раз и не менее m2 раз равна 
,
2) Вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна 
.
Если Х имеет биномиальное распределение, то Мх = np, Dx = npq.
Пусть в ситуации А число исходов равно N, а их вероятности равны p1…pN. Вычислим вероятность того, что после n испытаний i – тый исход наступит 
раз 
.
Заметим, что 
.
так как 
.
Поэтому 
. Это – полиномиальное распределение.
Заметим, что 
- это коэффициенты при 
в разложении по степеням 
производящей функции 
.
Рассмотрим ситуацию В. Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номера испытания, так как условия испытаний различны. - это коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции 
при N исходах.
При двух исходах 
- это коэффициент при в разложении производящей функции
, где 
.
Примеры.
1) Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт а)три туза, б)не менее одного туза?
а) 
, б) 
.
2) Мишень для опытного стрелка содержит три круговых кольца: 10, 9, пусто. Вероятность попасть при одном выстреле в десятку – 0,2, в девятку – 0,7, в «пусто» – 0,1. Какова вероятность в серии из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза, в девятку 4 раза, в десятку 4 раза?
3) Производится три выстрела в мишень. При первом выстреле вероятность попасть в мишень равна 0,5, не попасть 0.5. При втором выстреле – соответственно 0,4 и 0.6, при третьем выстреле 0,3 и 0,7. Какова вероятность два раза попасть в мишень?
.
Вероятность не попасть ни разу равна 0,21, один раз – 0,44, два раза – 0,29, три раза – 0,06.
