Лекции.Орг
 

Категории:


Как ухаживать за кактусами в домашних условиях, цветение: Для кого-то, это странное «колючее» растение, к тому же плохо растет в домашних условиях...


Назначение, устройство и порядок оборудования открытого сооружения для наблюдения на КНП командира МСВ


Агроценоз пшеничного поля: Рассмотрим агроценоз пшеничного поля. Его растительность составляют...

Классическое определение вероятности события. В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ωсодержит конечное число элементарных исходов



В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ωсодержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.

Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.

В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.

Пусть N – общее число случаев в Ω, а NА – число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А).

Определение.Вероятностью события Аназывается отношение числаNA случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P(A) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Примеры. 1. Бросание игральной кости.Ω = {w1, w2,…,w6} N = 6.

А – количество очков кратно трем А = {w3,w6} NA = 2.

.

 

2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = {w11, w12,…,w66}; N =36.

wkl = (ak, bl), k,l =

А – сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; NA = 4

.

3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.

А – шар черный.

Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:

1) Р(Ω) = 1 (NA = N);

2) 0 ( 0 ;

3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( NA+B=NA+NB)

и их следствия

4) Р(Ø) = 0 (NØ) = 0;

5) Р( ) = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р( ) = 1);

6) Если , то Р(А) Р(В) (NA NB).

При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.

Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций Pk (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена mr способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.

Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров.Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченнойилисочетанием из n шаров по m шаров.Выясним, сколькими способами можнопроизвести ту или иную выборку

 

  Сочетания Размещения
Без возвращения
С возвращением

 

Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно Pm= =m!. Поэтому .

Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51).

 

 

Пример. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки.

1) Размещения с возвращением

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 32 = 9.

2) Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) .

3) Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

4) Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) .

Пример. Задача о выборке бракованных деталей.

В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?

Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна .

 





Дата добавления: 2016-03-27; просмотров: 269 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.004 с.