Геометрическое распределение.
Рассмотрим схему Бернулли. Обозначим Х – число испытаний до первого успеха, если вероятность успеха в одном испытании р. Если первое испытание успешно, то Х = 0. Следовательно, 
. Если Х = 1, т.е. первое испытание неудачно, а второе успешно, то по теореме умножения 
. Аналогично, если Х = n, то все испытания до n-ого неудачны и 
. Составим ряд распределения случайной величины Х
| … | 
| … | |||
|
| 
| 
| … | 
| … |
Случайная величина с таким рядом распределения имеет геометрическое распределение.
Проверим условие нормировки 
.
Гипергеометрическое распределение.
Рассмотрим схему испытаний, обобщающую задачу о выборке бракованных деталей и похожую на ситуацию А с N исходами. Пусть имеется n элементов, разделенных на группы: n1 элементов первого типа, n2 – второго типа и т.д., nN – N-ого типа. Какова вероятность, выбрав m элементов, получить среди них m1 элементов из первой группы, m2 – из второй и т.д. mN - из N-ой?
Ее легко вычислить по классическому определению вероятностей с учетом теоремы умножения:
.
В частности, при N=2 (m2=m-m1, n2=n-n1) (задача о бракованных деталях)
Формула Пуассона и распределение Пуассона.
Пусть число испытаний n велико, вероятность p мала и 
np мало. Тогда вероятность наступления m успехов в n испытаниях можно приближенно определить по формуле Пуассона:
.
Заметим, что по формуле Пуассона можно считать вероятность неуспеха, если q мало, приняв 
Случайная величина с рядом распределения m, имеет распределение Пуассона. Чем больше n, тем формула Пуассона точнее. Для грубых расчетов формулу применяют при n =10, 0 – 2, при n = 100 0 – 3. При инженерных расчетах формулу применяют при n = 20, 0 – 3, n =100, 0 – 7. При точных расчетах формулу применяют при n = 100, 0 – 7, n =1000, 0 – 15.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей распределение Пуассона.
,
Лекция 5
Экспоненциальное и нормальное распределения.
Экспоненциальное распределение.
Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность распределения задается формулой
, 
- параметр экспоненциального распределения.
Для случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, 
, 
.
Если времена между последовательными наступлениями некоторого события – независимые, экспоненциально распределенные случайные величины с параметром 
, то число наступлений этого события за время t имеет пуассоновское распределение с параметром 
. Геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального распределения.
