Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка
, (11.5)
называется алгебраической линией второго порядка.
Для квадратичной формы 
можно задать матрицу
. (11.6)
Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:
1) поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);
2) параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).
Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.
Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:
(в предположении, что λ 1,2 не равны 0).
Зададим последующий параллельный перенос формулами:
. Получим в новой координатной системе уравнение
. (11.7)
Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ 1, λ 2 и 
:
1) если собственные числа матрицы А λ 1 и λ 2 и одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:
, где 
(случаи 
и , имеющего знак, противоположный знаку λ 1, λ 2, будут рассмотрены в следующей лекции).
2) если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:
или 
, в зависимости от знака .
В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:
, (11.8)
являющимся каноническим уравнением параболы.
Пример.
Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка
3 x ² + 10 xy +3 y ² - 2 x – 14 y – 13 = 0.
Матрица квадратичной формы 3 x ² + 10 xy + 3 y ² имеет вид:
.
Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение: 
Для координат собственного вектора е 1, соответствующегоλ1, получим с учетом нормировки:
, откуда e 1 = { 
}. Аналогично найдем е 2: 
,
e 2 = { 
}. Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов: 
. Тогда
. Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат: 
Заметим, что коэффициентами при x ² и y ² являются λ 1 и λ 2.
Преобразуем полученное уравнение: 
Зададим параллельный перенос формулами: 
. Получим уравнение: 
, а после деления на 8:
- каноническое уравнение гиперболы.
Лекция 12.
Классификация кривых второго порядка на плоскости. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка: эллипсоидов, гиперболоидов и параболоидов.
