Базис и координаты вектора

Свойства базиса:

1. Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.

2. Разложение данного вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в данном базисе определяются единственным образом.

3. При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются.

4. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Определение 5.11. Проекцией вектора АВ на ось u называется длина направленного отрезка А^/В^/ оси u, где А^/ и В^/ - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось u.

Обозначение: пр_u а.

Свойства проекции:

1. Пр_u a = | a | cosφ, где φ – угол между а и осью u.

2. При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются.

3. При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается на это число.

Замечание. Свойства 2 и 3 назовем линейными свойствами проекции.

Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной комбинации:

d = X i + Y j +Z k. (5.3)

Определение 5.12. Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.

Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.

Определение 5.13. Косинусы углов, образованных вектором о осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами.

Свойства направляющих косинусов:

1. X = | d | cos α, Y = | d | cos β, Z = | d | cosγ.

2. , , .

3. cos²α + cos²β + cos²γ = 1.