1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0,
то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами { A1,B1 } и { A2,B2 }. Следовательно,
. (7.10)
Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:
- условие параллельности, (7.11)
- условие перпендикулярности. (7.12).
2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:
, (7.13)
- условие параллельности, (7.14)
- условие перпендикулярности. (7.16).
Здесь 
и 
- направляющие векторы прямых.
3. Пусть прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)
у = k1x +b1 и y = k2x + b2, где 
, а α 1 и α 2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α2 - α1. Тогда
. (7.17)
Условие параллельности имеет вид: k1=k2, (7.18)
условие перпендикулярности – k2=-1/k1, (7.19)
поскольку при этом tgφ не существует.
Расстояние от точки до прямой.
Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.
уДля точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую
L ОР равна р. С другой стороны, пр n OM = n·OM. Поскольку
Р n ={cos α, sin α }, a OM ={ x,y }, получаем, что
n M x cosα + y sinα = p, или
О х x cosα + y sinα - p = 0 - (7.20)
- искомое уравнение прямой L, называемое нормальным
уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан
с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).
Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонение δ точки А от прямой L есть число + d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число – d, если они лежат по одну сторону от L.
Теорема 7.1. Отклонение точки А(х0,у0) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:
. (7.21)
Доказательство.
у Q Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна
P A n·OA =x0 cosα + y0 sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p =
n x0 cosα + y0 sinα - p, что и требовалось доказать.
O
L
Следствие.
Расстояние от точки до прямой определяется так:
(7.22).
Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число 
, причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.
Пример. Найдем расстояние от точки А (7,-3) до прямой, заданной уравнением
3 х + 4 у + 15 = 0. А ² + B ²=9+16=25, C =15>0, поэтому нормирующий множитель равен
-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: 
Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно
Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.
Лекция 8.
