Если две плоскости (α1 и α2) заданы общими уравнениями вида:
A1x+B1y+C1z+D1 =0 и A2x+B2y+C2z+D2 =0,
то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n 1={ A1,B1,C1) и n 2={ A2,B2,C2). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями α1 и α2 равен
(8.4)
Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:
(8.5)
а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. (8.6)
Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М 1(х1, у1, z1), M 2(x2, y2, z2) и M 3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М1М 2 ={ x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 }, М1М 3 ={ x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1 }и М1М ={ x - x1, y - y1, z - z1 }, где М(x, y, z) – произвольная точка плоскости, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:
(8.7)
Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.
Способом, аналогичным изложенному в лекции 7, можно получить нормальное уравнение плоскости:
(8.8)
где р – длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость, а cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы нормали к этой плоскости. При этом расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле:
, (8.9)
где x0,y0,z0 – координаты рассматриваемой точки А. Подмодульное выражение в формуле (8.9) называется отклонением точки А от плоскости и принимает положительные значения, если А и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательные, если эти две точки лежат по одну сторону от плоскости. Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель 
знак которого противоположен знаку D.
Доказательства всех сформулированных утверждений полностью аналогичны исследованию нормального уравнения прямой на плоскости, рассмотренного в лекции 7.
Прямая в пространстве.
Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.
Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями
A1x+B1y+C1z+D1= 0 и A2x+B2y+C2z+D2 =0, где коэффициенты A1,B1,C1 и A2,B2,C2 не пропорциональны:
A1x+B1y+C1z+D1 =0 (8.10)
A2x+B2y+C2z+D2 =0.
Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.
Составим уравнения прямой, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) параллельно вектору a ={l,m,n}.
Определение 8.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.
Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М0М = { x - x0,y - y0,z - z0) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:
(8.11)
называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.
В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:
М1(х1, у1, z1) и M2(x2, y2, z2), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М1М 2 = { x2 – x1, y2 - y1, z2 - z1 }, и уравнения (8.11) принимают вид:
- (8.12)
- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:
. (8.13)
Для того, чтобы перейти от уравнений (8.10) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [ n1n2 ] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений (8.10), выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.
Пример. Составим канонические уравнения прямой
.
Найдем [ n1n2 ]. n 1 = {2,1,-3}, n 2 = {1,-5,4}. Тогда [ n1n 2 ] = {-11,-11,-11}. Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор {1,1,1}.
Будем искать точку на прямой с координатой z0=0. Для координат х 0 и у0 получим систему уравнений 
, откуда х 0=2, у 0=1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:
.
Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:
.
Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.
