Задачи для самостоятельного решения. Исследовать систему на совместность и найти решение в случае совместности

 

Исследовать систему на совместность и найти решение в случае совместности

 

4. Исследовать систему на совместность и найти решение в зависимости от значения параметра λ,

Ответ: 1. X_О.Р.= 3. X_О.Р.=

2. Система несовместна, то есть решений не имеет.

4. При λ≠0 система несовместна; при λ=0 общее решение

X_О.Р.=

 

Решение однородных систем.

Система уравнений (1) называется однородной, если все b_i= 0, i = 1, 2,..., m.

Теорема. Однородная СЛУ всегда совместна (т.е. однородная система всегда имеет хотя бы одно решение - нулевое).

Рассмотрим частные случаи.

1. Если r(А) = n, то существует только нулевое (тривиальное) решение x₁=x₂=...= x_n=0.

2. Если r(А)<n, то существует множество решений (в том числе и нулевое). В этом случае выбирают базисные и свободные неизвестные и затем решают равносильную систему.

3. Система n однородных линейных уравнений с n неизвестными обладает ненулевым решением тогда и только тогда, если определитель этой системы равен 0.

4. Если в системе однородных уравнений m < n, то система непременно обладает решениями, отличными от нулевого.

Кроме общего и частного решений для однородных систем СЛУ выделяют фундаментальную систему решений.

Фундаментальной системой решений (ФСР) системы однородных линейных уравнений называется совокупность максимального числа линейно-независимых вектор-решений.

Если ранг матрицы системы r меньше числа неизвестных n и х₁,х₂,...,х_r -базисные неизвестные, a x_n-r, x_n-r+1,...,x_n - свободные неизвестные, то ФСР состоит и n-r вектор-решений Х₁, Х₂,...,Х_n-r, имеющих следующий вид:

Х₁= , Х₂= , … Х_n-r= .

Пример.

Найти решение системы

Данная система является однородной. Число неизвестных n=5>m=4, следовательно, система имеет и ненулевое решение.

Найдем ранг матрицы системы методом элементарных преобразований. Пронумеруем строки и столбцы.

Переставим 1-ю и 4-ю строки;

Домножим поочередно 1-ю строку на -2, -1, -3 и прибавим соответственно ко 2-й, 3-й, 4-й строке;

Я, 3-я, 4-я строки являются пропорциональными, вычеркиваем 3-ю и 4-ю;

Й столбец домножим поочередно на 5, -2, 16, -3 и прибавим соответственно ко 2-му, 3-му, 4-му, 5-му столбцу;

Й столбец домножим поочередно на 7, -25, 4 и прибавим соответственно к 3-му, 4-му, 5-му столбцу;

Вычеркиваем нулевые столбцы;

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

A= ~ ~

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

~ ~ ~

1 2 3 4 5 1 2

~ ~

Итак, r(А) = 2 < n.

Базисные строки - 2,4. Базисные столбцы - 1,2. Базисные неизвестные - х₁, х₂. Свободные неизвестные - x₃, х₄, х₅.

Приведенная система имеет вид:

Решая приведенную систему, получим:

Заменив х₃ =С₁, х₄ =С₂, х₅ =С₃, получим общее решение.

Для записи ФСР берем три линейно-независимых трехмерных вектора (х₃,х₄,х₅): (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Находим х₁ ,х₂:

 

x3	x4	x5	x1	x2

Ответ: общее решение Х_О.Р. =

 

ФСР: X₁= X₂= X₃=

Пример.

Найти решение системы

Данная система является однородной n=3,m=4.

A=

Найдем r(A) методом окаймляющих миноров: r(A)≤n

M₂= M₃=

Т.к. r(A)=n, то система имеет только нулевое решение.

Ответ: x₁=x₂=x₃=0 или X=(0,0,0)^T.