Формулы произведения функций

1).Вычислите: 2

2).Вычислите: sin10°×sin20°×...×sin80 °. [ ]

3).Вычислите: tg5°×tg20° + tg20°×tg65° + tg65°×tg5°

 

Формулы cуммы и разности одноименных тригонометрических функций.

Примеры:

1). sin54° – sin18° = 2sin18°cos36° = = 0,5

2). -

 

3). cos + cos = 2 cos cos = 2 cos cos = 2 cos cos

4) ctg70° + 4cos70° = .

Формулы понижения степени и половинного аргумента.

 

Примеры:

1) Вычислите: sin15°; cos15°; tg15° [ ; ; ].

Понятно, что вычислив значения тригонометрических функций для угла 15°, мы знаем и значения тригонометрических функций угла 75°, и, вообще, достаточно вычислять эти значения для углов от 0 до 45°.

Для каких еще углов можно аналогичным образом вычислить значения тригонометрических функций? [22,5°; 37,5°; 7,5° и т. д.]

2) tga = ; Найти: sin2a (Ответ: );

3). = 0,6; 0< < . Вычислить ; ;

4). Докажите, что в треугольнике АВС один из углов равен 60° т. и т. т., когда sin3A + sin3B + sin3C = 0.

Формулы приведения.

1) Сравните и обоснуйте:

а) и [ >; II четверть];

б) и cos(–0,5) [ >; четность; I четверть];

в) tg1,2p и tg1,4p [ <; показать ось тангенсов ]; г) ctgp² и ctg10 [ >; показать ось котангенсов ].

2) Упростите выражения:

а) sin(1080° – a);

б) cos(–a – 20p);

в) tg(–1800° + b);

г) ctg(14p – b)

ответ: [а) – sina; б) cosa; в) tgb; г) –ctgb]

Помимо свойств четности или нечетности и свойства периодичности тригонометрических функций, существуют правила, позволяющие упрощать аналогичные тригонометрические выражения. Эти правила применяются, когда под знаком тригонометрической функции находятся слагаемые, не кратные 360° или 2p, но кратные 90° или 0,5p. Вывод этих правил, которые называются формулами приведения, использует симметрию на координатной плоскости.

1) Рассмотрим точки Р_a и Р_{p + a}. Они симметричны относительно О(0; 0): Z_O(Р_a) = Р_{p + a}. Следовательно, x_{p + a} = –x_a; y_{p + a} = –y_a, то есть, cos(p + a) = –cosa; sin(p + a) = –sina; tg(p + a) = = tga; ctg(p + a) = = ctga.

2) Рассмотрим точки Р_a и Р_{p – a}. Они симметричны относительно оси y: S_(OY) (Р_a) = Р_{p – a}. Следовательно, x_{p – a} = –x_a; y_{p – a} = y_a, то есть, cos(p – a) = –cosa; sin(p – a) = sina; tg(p – a) = = –tga; ctg(p – a) = = –ctga.

3) Рассмотрим точки Р_a и Р_{0,5p + a}. Какова особенность их взаимного расположения? [ ] Следовательно, x_{0,5p + a} = –y_a; y_{0,5p + a} = x_a, то есть, cos(0,5p + a) = –sina; sin(0,5p + a) = cosa; tg(0,5p + a) = = ctga;

ctg(0,5p + a) = = –tga.

4) Как получить аналогичные формулы для угла 0,5p – a?

[Симметрия относительно прямой y = x или алгебраически]

cos(0,5p – a) = cos(0,5p + (–a)) = –sin(–a) = sina; sin(0,5p – a) = sin(0,5p + (–a)) = cos(–a) = cosa; tg(0,5p – a) = = ctga; ctg(0,5p – a) = = tga.

5) Как получить аналогичные формулы для углов 1,5p ± a? Проще – алгебраически.

cos(1,5p ± a) = cos(p + (0,5p ± a)) = –cos(0,5p ± a) = ±sina; sin(1,5p ± a) = sin(p + (0,5p ± a)) = –sin(0,5p ± a) = –cosa; tg(1,5p ± a) = = mctga; ctg(1,5p ± a) = = mtga.

Некоторые формулы приведения:

	+	π +	+	-	π -	-	2π -
		-	-			-	-
	-	-			-	-
	-		-		-		-
	-		-		-		-

Самое замечательное, что сами формулы запоминать не надо, достаточно запомнить «мнемоническое правило».

1) Знак результата совпадает со знаком данной функции;

2) Если есть или , то название функции меняется на кофункцию;

3) Если есть π или 2π, то название функции не меняется;

Упражнения.

1) Упростите выражения:

а) sin(117p – a);

б) cos(– 221,5p–a);

в) tg( + b);

г) ctg²(b – 1890°) ответ:[а) sina; б) –sina; в) –ctgb; г) tg²b]

2) Вычислите значение тригонометрических функций угла 330°.

[cos330° = ; sin330° = –0,5; tg330° = ; ctg330° = ]

3) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до 45° (): а) sin(–3725°); б) [а) –cos39°; б) –ctg ]

4) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до 45°

а) cos(–2281°); б) ctg27,7p.

5) Определите знаки чисел и попарно сравните: а) и ; б) cos(–2) и cos(–3); в) и .

6) Верны ли равенства (обоснуйте): а) sin(a + b) = sina + sinb; б) cos(a – b) = cosa – cosb? [ Нет; примеры!]

7) Сравните: sin(cos1) и cos(sin1).

8) Вычислите: [ –1 ];

9) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до : а) cos10; б) ctg11. [а) –cos(10 – 3p); б) –tg(11 – 3,5p)];

10) Найдите значение выражения: sina×sinb×...×siny×sinz [ 0, так как sinp = 0].

11) Упростите: а) sin8; б) tg(–7).

12) · )