Области значений тригонометрических функций

Как мы уже выяснили, чтобы найти синус числа на числовой окружности, нужно найти ординату точки, соответствующей этому числу (как это сделать?). А теперь обратим внимание, что проекции всех точек тригонометрической окружности укладываются на вертикальный диаметр, который является отрезком оси ординат. Т.к. концы этого отрезка по оси ординат имеют координатами числа (–1) и 1, то делаем вывод E (sin) = [–1; 1].

По-другому это записывается как или ,

говорят: «синус по модулю не превосходит единицу», а вертикальный диаметр называется линией (осью) синусов.

 

Аналогично, рассматривая проекции абсцисс всех точек числовой окружности, делаем вывод, что E (cos) = [–1; 1].

Также как и для синуса, это можно записать в виде или ,

а линия (ось) косинусов — это горизонтальный диаметр.

Линия (ось) тангенсов — это касательная к числовой окружности, проходящая через ее начало отсчета.

Чтобы найти тангенс числа на числовой окружности нужно провести прямую через точку, соответствующую этому числу, и центр окружности до пересечения с линией тангенсов. Масштаб по линии тангенсов такой же как и на числовой окружности (единичный отрезок – радиус окружности), поэтому тангенс числа равен длине отрезка от точки пересечения до точки касания.

Линия (ось) котангенсов — касательная, проведенная к числовой прямой через ее точку с координатой .

Для начала решим интересную задачу.

Задача. Какое из двух чисел больше, sin 1 или sin 2?

Вычисляют котангенс аналогично тангенсу, проводя прямую через центр числовой окружности и точку на ней и измеряя отрезок от точки пересечения до точки касания.

Таким образом, поскольку линия котангенсов – прямая, то E (ctg) = R.

С помощью линий тригонометрических функци, многие свойства тригонометрических функций получают наглядное геометрическое истолкование

Периодичность тригонометрических функций. Когда мы говорили об углах поворота, мы отметили их главную особенность – поворотам на углы, отличающиеся друг от друга на целое число полных оборотов (т.е. на 360°× п), соответствует одно и то же конечное положение подвижного радиус-вектора.

Это свойство синуса и косинуса называется периодичностью. Оно состоит в том, что от прибавления к аргументу х числа 2p k, где k – любое целое число, значения синуса и косинуса не изменяются.

Каждое из чисел ±2p, ±4p, ±6p, …, прибавление которого к любому значению аргумента х не изменяет значений синуса и косинуса, называют периодом синуса и косинуса. Из всех положительных периодов 2p, 4p, 6p,…, период 2p наименьший. Его называют главным периодом или просто периодом.

Свойство периодичности тангенса и котангенса в общем виде записывается как:

tg x = tg(x + p k) и ctg x = ctg(x + p k).Таким образом, периодами этих функций служат числа p k, а наименьший положительный период тангенса и котангенса равен p. Это следует из того, что на тригонометрической окружности точки t и t + p диаметрально противоположны (число p задает ровно половину окружности), а значит тангенсы этих чисел равны длине отрезка AN. Докажем, что наименьший период синуса 2p. Наибольшее значение синуса равно 1.

На числовой окружности этому значению соответствует точка В. Положение ОВ подвижный радиус сможет занять только через полный оборот, т.е. через 2p.

Вопрос 1. Как звучит это свойство применительно к точке на числовой окружности?

Вопрос 2. Чем являются координаты точки на числовой окружности?

Вопрос 3. Как записать правило «полного оборота» для каждой координаты?

sin x = sin(x + 2pk) и cos x = cos(x + 2pk).

Четность и нечетность.

Еще проще с таким важным свойством функций как четность или нечетность.

О казывается, все изучаемые нами тригонометрические функции – нечетные, лишь косинус – четная функция.

Рассмотрим на тригонометрической окружности точки с координатами t и (– t). У этих точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты, это означает, что sin(–t) = –sin t. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что cos(–t) = cos t.

Аналогично рассматриваются функции тангенс и котангенс.

Кроме того, доказать нечетность тангенса и котангенса можно используя свойства синуса и косинуса следующим образом: = = = - = - .