Шін шектік есептерді жуыҚтап шешу

7.1 Шекті-айырымдық әдіс

Екінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу берілсін:

 

(1)

 

- тәуелсіз айнымалы, - аралығында (1) теңдеуді және осы аралықтың екі шеткі нүктелерінде шекаралық шарттарын қанағаттандыратын y=y(x) шешімін табу керек:

 

(2)

 

Біз осыған дейінгі есептерде Коши есебі деп дифференциалдық теңдеуге қосымша функцияның бір тәуелсіз айнымалыдағы мәні берілген жағдайды айтып жүрдік. Ал функцияның екі тәуелсіз айнымалыдағы мәндері берілсе, есепті қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін шектік есеп деп айтады.

(1) теңдеу және (2) шекаралық шарттар сызықтық болған жағдайды қарастырамыз:

 

(3)

(4)

 

- аралықтағы белгілі функциялар, - анықталған тұрақтылар, және .

 

аралығында тор енгіземіз:

 

,

 

және келесі белгілеме енгіземіз:

 

 

(3) дифференциалдық теңдеудегі және (4) шекаралық шарттарындағы туындыларды шекті-айырымды қатынастармен алмастырамыз. Орталық-айырымдық қатынастар қолданамыз. Дифференциалдық теңдеу келесі түрге келтіріледі:

 

(5)

(6)

 

Осы формулаларды қолданып (3) (4) теңдеулерді келесі жүйеге алмастырамыз:

 

(7)

 

(7) жүйе - n+1 сызықтық теңдеулерден тұратын n+1 белгісіздері бар жүйе. дискретті функция функцияны жұықтайды.

Түйінділер саны көп болған жағдайда (7) жүйені сызықтық теңдеулер жүйелерін шешүге арналған әдістерді қолданған тиімді емес, себебі (7) жүйенің үш диагональдағі элементтерінен басқа элементтерінің бәрі нөл. Осындай жүйелер матрицасы үшдиагоналды матрица деп аталады:

 

 

Осындай жүйелерді куалау әдісімен шешу тиімді.

 

Мысал 1

Екінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу берілсін:

 

,

- айнымалы, аралығында жоғарыдағы теңдеуді және осы аралықтың екі шеткі нүктелерінде шекаралық шарттарын қанағаттандыратын y=y(x) шешімін табу керек:

 

.

 

Шекті-айырымдық әдісті қолданып берілген шектік есептің шешімін табу, және h=0,1.

 

Шешім:

- тор енгіземіз.

Егер , онда .

белгілеу енгіземіз, және дифференциалдық теңдеудегі туындыларды шекті-айырымды қатынастармен алмастырамыз. Орталық-айырымдық қатынастар қолданамыз. Дифференциалдық теңдеу келесі түрге келтіріледі:

 

 

Шекаралық шарттар келесідей жазылады:

 

 

, туындыларды шекті-айырымды қатынастармен алмастырамыз:

 

.

 

Яғни, теңдеудің шекаралық шарттар келесідей жазылады:

 

.

 

Сонымен табуға арналған келесі жүйе құрылды:

 

 

 

Сызықтық теңдеулер жүйесі Гаусс әдісімен шешіледі, 1-кесте.

 

1-кесте. Гаусс әдісімен жүйені шешу.

 

x0-дің коэффициенті	x1-дің коэффициенті	x2-нің коэффициенті	x4-тің коэффициенті	Бос мүше
2,1	-2			0,1
89,5	-200,76	110,5		1,5
		-200,55		1,5
		-1	1,1	0,215
1,000	-0,952			0,048
	-115,522	110,500		-2,762
	89,000	-200,550	111,000	1,500
		-1,000	1,100	0,215
	1,000	-0,957		0,024
		-115,419	111,000	-0,628
		-1,000	1,100	0,215
		1,000	-0,962	0,005
			0,138	0,220
			1,000	1,594
Нәтиже:
x0=1,472	x1=1,496	x2=1,538	x3=1,594

Мысал 2

Екінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу берілсін:

 

,

- айнымалы, аралығында жоғарыдағы теңдеуді және осы аралықтың екі шеткі нүктелерінде шекаралық шарттарын қанағаттандыратын y=y(x) шешімін табу керек:

 

.

 

Қуалау әдісін қолданып берілген шектік есептің шешімін табу, және h=0,01.

 

Шешім:

тор енгізейік. Егер деп алсақ онда .

белгілейміз және дифференциалдық теңдеудегі туындыларды шекті-айырымды қатынастармен алмастырамыз. Орталық-айырымдық қатынастар қолданамыз. Дифференциалдық теңдеу келесі түрге келтіріледі:

 

 

Ұқсас мүшелерін жинақтау арқылы:

 

.

 

Теңдеудің екі жағын да көбейтеміз:

 

.

 

Шекаралық шарттар келесідей жазылады:

 

.

 

туындыны шекті-айырымды қатынастармен алмастырамыз:

 

.

 

Яғни, теңдеудің шекаралық шарттар келесідей жазылады:

 

.

 

Ұқсас мүшелерін жинақтау арқылы:

 

, , .

Сонымен табуға арналған келесі жүйе құрылды:

 

.

Осы жүйе - n+1 сызықтық теңдеулерден тұратын n+1 белгісіздері бар жүйе. дискретті функция функцияны жұықтайды. Осындай жүйелерді қуалау әдісімен шешу тиімді.

Берілген есеп үшін:

 

Қуалау әдісінің жинақтылық шарты орындалады:

Тура қуалау: Алдымен коэффициенттерін есептеп табамыз:

 

.

 

Осы формулалардың көмегімен есептеледі.

 

Кері қуалау:

Алдымен есептейміз , одан кейін функцияның қалған мәндері табылады:

 

.

 

Сонымен:

 

Есепті шешү қадамдары 2-кестеде көрсетілген.

 

2- кесте. Қуалау әдісімен есепті шешү.

 

	xi	ai	bi	ci	alphai	betai	yi
	2,0000	0,9900	1,0100	2,0000			2,2348
	2,0100	0,9900	1,0101	2,0000	1,0050	-0,0050	2,2286
	2,0200	0,9899	1,0101	2,0000	1,0049	-0,0050	2,2228
	2,0300	0,9899	1,0102	2,0000	1,0048	-0,0051	2,2171
	2,0400	0,9898	1,0102	2,0000	1,0047	-0,0051	2,2118
	2,0500	0,9898	1,0103	2,0000	1,0046	-0,0051	2,2067
	2,0600	0,9897	1,0103	2,0000	1,0045	-0,0051	2,2018
	2,0700	0,9897	1,0104	2,0000	1,0044	-0,0051	2,1972
	2,0800	0,9896	1,0104	2,0000	1,0043	-0,0052	2,1929
	2,0900	0,9896	1,0105	2,0000	1,0042	-0,0052	2,1888
	2,1000	0,9895	1,0105	2,0000	1,0041	-0,0052	2,1849
	2,1100	0,9895	1,0106	2,0000	1,0041	-0,0052	2,1813
	2,1200	0,9894	1,0106	2,0000	1,0040	-0,0052	2,1779
	2,1300	0,9894	1,0107	2,0000	1,0039	-0,0052	2,1747
	2,1400	0,9893	1,0107	2,0000	1,0038	-0,0052	2,1717
	2,1500	0,9893	1,0108	2,0000	1,0037	-0,0052	2,1689
	2,1600	0,9892	1,0108	2,0000	1,0036	-0,0052	2,1664
	2,1700	0,9892	1,0109	2,0000	1,0035	-0,0053	2,1640
	2,1800	0,9891	1,0109	2,0000	1,0034	-0,0053	2,1619
	2,1900	0,9891	1,0110	2,0000	1,0033	-0,0053	2,1599
	2,2000	0,9890	1,0110	2,0000	1,0033	-0,0053	2,1581
	2,2100	0,9890	1,0111	2,0000	1,0032	-0,0053	2,1565
	2,2200	0,9889	1,0111	2,0000	1,0031	-0,0053	2,1551
	2,2300	0,9889	1,0112	2,0000	1,0030	-0,0053	2,1539
	2,2400	0,9888	1,0112	2,0000	1,0029	-0,0053	2,1529
	2,2500	0,9888	1,0113	2,0000	1,0029	-0,0053	2,1520
	2,2600	0,9887	1,0113	2,0000	1,0028	-0,0053	2,1513
	2,2700	0,9887	1,0114	2,0000	1,0027	-0,0052	2,1507
	2,2800	0,9886	1,0114	2,0000	1,0026	-0,0052	2,1503
	2,2900	0,9886	1,0115	2,0000	1,0025	-0,0052	2,1501
	2,3000	0,9885	1,0115	2,0000	1,0025	-0,0052	2,1500

 

Есептелген функцияның графигі 1-сүретте көрсетілген. y функция қойылган шектік есебінің шешімі.

 

1 -сүрет. Функцияның графигі.