Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтығы тұрақты болса, практикада Ньютонның интерполяциялық формулалары қолданылады. Бұл формулалар екіге бөлінеді:
1 Алдыға қарай интерполяциялау;
2 Кері интерполяциялау;
Егер берілген х нүктесінің мәні кестенің бас жағында жатса, 1-формуласы қолданылады:
| (4.11) |
.
Мұндағы 
Егер берілген х нүктесінің мәні кестенің соңғы жағянда жатса, 2-формула қолданылады:
| (4.12) |
Формулалардағы 
, 
, т.с. сияқтылар шектік айырымдар деп аталады және 7-кестені толтыру арқылы анықталады. Кестедегі мысал үшін 6 интерполяциялық түйін және шектік айырымдардың 4-ші дәрежесіне дейінгі мәндер қарастырылған. 1-формула үшін кестенің бірінші жолындағы мәндер, 2-формула үшін кестенің соңғы жолындағы мәндер қолданылады.
7-кесте – Шектік айырымдар кестесі
| x | Y | 
| 
| 
| 
|
| X0 | Y0 | 
| 
| 
| 
|
| X1 | Y1 | 
| 
| 
| 
|
| X2 | Y2 | 
| 
| 
| |
| X3 | Y3 | 
| 
| ||
| X4 | Y4 | 
| |||
| X5 | Y5 |
Егер интерполяциялық түйіндер саны 1 немесе 2-ге тең болса сызықты интерполяциялық формуланы қолдануға болады: 
.
Қателіктерін бағалау:
1-формула үшін мына формула қолданылады:
, 
немесе
2-формула үшін мына формула қолданылады:
,
Мысал:
y=lg(x) функциясының мәндері 8-кестеде берілген, lg1001 мәнін табу керек.
3-ретті шектік айырымдар тұрақты бола бастағандықтан кестені толтыруды тоқтатамыз. Формулада n=3 деп аламыз. Q=0,1. x=1001. Ньютонның бірінші формуласын қолданамыз, себебі х-тің мәні кестенің бас жағында жатыр, сонда lg1001=3.00043417+0.5*10-9 болатынын қалдық мүшенің формуласын қолдану арқылы анықтаймыз.
8-кесте – y=lg(x) функциясының мәндері және
шектік айырымдары кестесі
| X | Y | 
| 
| 
|
| 3.0000000 | 43 214 | -426 | ||
| 3.0043214 | 42 788 | -418 | ||
| 3.0086002 | 42 370 | -409 | ||
| 3.0128372 | 41 961 | -401 | ||
| 3.0170333 | 41 560 | |||
| 3.0211893 |
Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі
(4.4)
Кей жағдайда есептеу процесін жеңілдету үшін x=at+b, xj=atj+b j=0,1,…,n сызықты алмастыруын жасау арқылы Лагранж коэффициенттерінің инварианттылығын қолдануға болады, онда (4.4)-формула келесі түрге келеді:
(4.5)
Эйткен схемасы
Егер Лагранж көпмүшелігінің жалпы өрнегін анықтамай, тек белгілі бір нүктедегі функция мәнін есептеу керек болса, онда Эйткен схемасын қолдануға болады:
| (4.6) |
т.с.с.
Эйткен схемасы келесі 6-кестені толтыру арқылы орындалады.
6-кесте – Эйткен схемасының толтырылу кестесі
| xi | yi | Xi-x | Li-1,i | Li-2,i-1,i | Li-3,i-2,i-1,i | … |
| X0 | Y0 | X0-x | ||||
| X1 | Y1 | X1-x | L01(x) | |||
| X2 | Y2 | X2-x | L12(x) | L012(x) | ||
| X3 | Y3 | X3-x | L23(x) | L123(x) | L0123(x) | … |
| X4 | Y4 | X4-x | L34(x) | L234(x) | L1234(x) | … |
Эйткен схемасын есептеуді көршілес L0123…n(x), L0123…n,n+1(x) мәндері берілген дәлдік маңайында бір бірімен беттессе тоқтатуға болады.
Xi нүктелерінде yi мәндерін қабылдайтын n-ші дәрежелі интерполяциялық көпмүшелік келсі түрде де жазылады:
. (4.7)
1-Мысал:
Төмендегі кестемен берілген функция үшін Лагранж көпмүшелігін құру.
| I |
| ||||
| xi | 0.1 | 0.3 | 0.5 | ||
| yi | -0.5 | 0.2 |
Шешімі: (4.4)-формула бойынша n=3, i=0,1,2,3 болғандағы өрнекті анықтаймыз:
L13(x) мүшесін есептемейміз, себебі y1=0. Бәрін бір біріне қосамыз да көпмүшеліктің соңғы түрін аламыз:
2-мысал:
Төмендегі кестемен берілген функцияның x=0.45 нүктесіндегі мәнін анықтау керек.
| X | 0.05 | 0.15 | 0.20 | 0.25 | 0.35 | 0.40 | 0.50 |
| |
| y | 0.9512 | 0.8607 | 0.8187 | 0.7788 | 0.7047 | 0.6703 | 0.6065 | 0.5769 |
Шешімі:
Есептеуді жеңілдету үшін x=0.05t деп алайық. X-тердің мәні белгілі болғанда t-лардың мәндерін тауып алуға болады, олар: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11. Және x=0.45 болғандағы t=9 болады. Есептеу қадамдары 6’-кестеде келтірілген.
6’-кесте – (4.9)-есептің есептелу қадамдары
| I | ti-tj (i<>j) | Di | yi |
| |||||||
| -2 | -3 | -4 | -6 | -7 | -8 | -10 | -725 760 | 0.9512 | -0.0131*10-4 | ||
| -1 | -2 | -4 | -5 | -7 | -8 | 26 880 | 0.8607 | 0.3202*10-4 | |||
| -1 | -3 | -4 | -6 | -7 | -7 560 | 0.8187 | -1.0829*10-4 | ||||
| -2 | -3 | -5 | -6 | 5 760 | 0.7788 | 1.3520*10-4 | |||||
| -1 | -3 | -4 | -3 456 | 0.7047 | -2.0390*10-4 | ||||||
| -2 | -3 | 2 520 | 0.6703 | 2.6599*10-4 | |||||||
| -1 | -1 | 11 340 | 0.6065 | 0.5348*10-4 | |||||||
| -2 | -80 640 | 0.5769 | -0.0715*10-4 | ||||||||
|
|
Сонымен y(0.45)= 
3840*1.6604*10-4=0.6376.
