Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки пространства М ₁(х ₁; у ₁; z ₁), М ₂(х ₂; у ₂; z ₂), M ₃(x ₃; y ₃; z ₃), не лежащие на одной прямой. Пусть М (х; у; z) – произвольная точка этой плоскости (х – х ₀; у – у ₀; z – z ₀), (х ₂ – х ₁; у ₂ – у ₁; z ₂ – z ₁), (х ₃ – х ₁; у ₃ – у ₁; z ₃ – z ₁) компланарны. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:

= 0.

Следовательно, искомое уравнение

= 0. (1.3)

 

Взаимное расположение двух плоскостей

 

Пусть даны две плоскости

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ = 0,

А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂ = 0.

Первая плоскость имеет нормальный вектор (А ₁; В ₁; С ₁), вторая плоскость (А ₂; В ₂; С ₂).

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т. е. = l для некоторого числа l. Поэтому

– условие параллельности плоскости.

Условие совпадения плоскостей:

,

так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение.

Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т. е. = 0 или

А ₁ А ₂ + В ₁ В ₂ + С ₁ С ₂ = 0.

Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Угол между двумя плоскостями

 

Угол между двумя плоскостями

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ = 0,

А ₂х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂ = 0

– это угол между их нормальными векторами и , поэтому

cosj = = .

Прямая в пространстве

Векторно-параметрическое уравнение прямой

Определение 1.2. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Рисунок 1.2

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М ₀(х ₀; у ₀; z ₀) и имеющей направляющий вектор = (рисунок 1.2). Отложим из точки М ₀ вектор . Пусть М (х; у; z) – произвольная точка данной прямой, а – её радиус-вектор точки М ₀. Тогда , , поэтому . Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой

В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х; у; z) = (х₀; у₀; z₀) + t. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой

,

, (1.4)

.

Канонические уравнения прямой

Из уравнений (1.4) выразим t:

t = , t = , t = ,

откуда получаем канонические уравнения прямой

 

= = . (1.5)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки М ₁(х ₁; у ₁; z ₁) и М ₂(х ₂; у ₂; z ₂). В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор = (х ₂ – х ₁; у ₂ – у ₁; z ₂ – z ₁). Поскольку прямая проходит через точку М ₁(х ₁; у ₁; z ₁), то её канонические уравнения в соответствии с (1.5) запишутся в виде

. (1.6)

 

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = и . Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому

сosj = = . (1.7)

Условие перпендикулярности прямых:

.

Условие параллельности прямых:

l,

т. е.

. (1.8)