, x-, y-, z- , :
= (123) | (1.9) |
, 1, 2, 3 , i, j, k x, y, z , :
ai = 1 i + a2 j + a3 k | (1.10) |
. 1.6. , (1.9) , (-). ( - ). (-). ,
(1.11) | |
. 1.6. = 1 i + a2 j + a3 k. |
-. ( - ). -, , i, i . (1.9) (1.11) - - . , n , n - ( ). ,
n - (1.10) ( (1.12), e i n - :
r i = r e1 + r e2 +... + rn e n | (1.12) |
i, j k ( ), . . . , n - . n n - . , , .
. ( , ). :
a i b i = (a 1e1 + a 2e2 + a 3e3) (b 1e1 + b 2e2 + b 3e3) = a 1 b 1e1 e1 + a 1 b 2e1 e2 + a1b 3e1 e3 + a 2 b 1e2 e1 + a 2 b 2e2 e2 + a 2 b 3e2 e3 + a 3 b 1e3 e1 + a 3 b 2e3 e2 + a 3 b 3e3 e3 | (1.13) |
n -
(1.14) |
.
e i e j = δ ij | (1.15) |
|
|
δ ij , i = j
i ≠ j.
- . - :
a b = a i b i | (1.16) |
( , )
a b = | (1.17) |
= a 1 b 2 + a 2 b 2 +... + anbn | (1.17a) |
(1.17) |
, . () (1.18) (1.18):
(1.18) | |
(1.18) |
, n - n × n - , ,
Cij = aibj | (1.19) |
, . , . , , . , . ,
(1.20) |
(, , , , ). , , c cos θ. . ( ) . ; :
(1.21) |
- - , - - , . , . a b
a × b = ( a 1 i + a 2 j + a 3 k) × ( b 1 i + b 2 j + b 3 k) =
= a 1 b 1 i × a 1 b 2 i × j + a 1 b 3 i × k + a 2 b 1 j × i + a 2 b 2 j × j
+ a 2 b 3 j × k + a 3 b 1 k × i + a 3 b 2 k ×j + a 3 b 3 k × k (1.22)
i × i =0; | i × j = k; | k × i = j . . | (1.23) |
(1.22),
a × b =(a 2 b 3 a 3 b 2)i + (a 3 b 1 a 1 b 3)j + (a 1 b 2 a 2 b 1)k | (1.22) |
(1.22) ):
(1.22) |
(1.22) , . (1.22) . () . - - :
|
|
a i × b i = Ab i = b i × a i | (1.24a) |
a i × b i = a i B = b i × a i | (1.24) |
,
(1.25) |
(1.25) |
i, j k (1.24). n ; .
1.1*. [1] - , .
1.2*. :
; ; ; ;
1.3*.
1.4. (1.24)
i, j k .
(1.16) (1.17), , - ( , ), , - ( , ). - (1.17).
= | (1.26) |
(1.26) |
, . , , , . (, -
1 × n -, - n × 1-).
; . a/b , b -1 .
(1.27) |
. , .
a-1 = b | (1.28) |
ab= ba =1 | (1.28) |
, , . , , , , .
. , , . , . u, v w ( ) , :
(1.29) |
(1.29) | |
(1.29) |
, (uvw). ( (a × b) ∙ , a, b . , a, b ). (1.29 ) . , , , .
|
|
u, v w
= 1u + a 2v + a 3w | (1.30) |
, ,
(1.31) |
, . u, v w , (1.31), . u, v w , i, j k,
ai i = i(i a) =(a 1 u cos θiu + a 2 v cos θiv + a 3 w cos θiw) i i | (1.32a) |
aj j = j(j a)= (a 1 u cos θju + a 2 v cos θjv + a 3 w cos θjw) j j | (1.32) |
ak k = k(k · a) = (a 1 u cos θku + a 2 v cos θkv + a 3 w cos θkw | (1.32) |
-1
(1.33) |
. 1, 2, 3, 1, 2, 3,
= 11 + 22 + 33 = 11 + 22 + 33 | (1.34) |
. , . , , . . , , , , .
1.5. , 1.2.
, - .
(1.35) |
(1.35) D , . . , , Aij aij. ( ( ) aij , i - j - (-1) i+j.
, 3 × 3-
(1.36) |
D
(1.37) |
(1.38) |
(1.38) |
(1.38) |
.. -1 (1.37) (1.38) (1.35). , , . ( .) , .
1.6*.
;
. . . . , . , . , . . , .
|
|
.
, | (1.39) |
n . , 2 x 2. 2 2- :
. | (1.40) |
, . , * . . , *.
. , , ( ), . , + . ( ). +, ). , , , :
(1.41) |
(1.41) |
()-1 = -1-1 | (1.41) |
. n, m,
nm, :
(1.42) |
, :
. . | (1.43) |
, . , . .
,
-1 = +, | (1.44) |
( ) :
* i ·* j = δij | (1.45) |
a* i ·a j * = δij, | (1.45) |
a* i i - -, i * i - -. . . , , i, :
. | (1.46) |
( *1). j *2 k *3. , x,y,z . ( ) . , .
+ :
= +. | (1.47) |
, . . , . , (- -) .
1.9.
: , . 1.4, . 1.8. .
|
|
1, 2, 3 , ,
; | (1.48) |
; | |
, |
. , :
. | (1.49) |
(1.48) (1.49) i:
; | (1.50) |
; | |
. |
:
; | (1.50) |
; | |
, |
(1.50) |
, i=k
i ≠ k. (1.48) (1.50) , .
1.7*.
) , , z, , . . ,
; ; + = 1
) :
; ;
) ) ) .
1.10. :
: , . , .
(1.34) . 1.4 , . , - -:
. | (1.51) |
R, ( ), (1.48), :
. | (1.52) |
( R R.) ,
. | (1.53) |
, :
. | (1.54) |
, R, i, :
. | (1.55) |
, , (. . ): . . . , , , . , , i . , u - v -,
R u = Ru | (1.56) |
R v = vR | (1.56) |
, .
. , - - . -. - , . a b ab; .
. θ
. | (1.57) |
, , θ. , R (1.57), R -1
R-1 = . | (1.58) |
(1.59) |
, | (1.59) |
. | (1.60) |
, R -1 R + , R .
. |
( .)
II
C
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. , . , D L , .
, , , , . . ; , .
. . , . . . , .
, , , , . . , .
, . :
1. , ( ). , P Q PQ S, S . , , . , : , , . .
2. .
PQRS = P(QR) = (PQ)(RS) . . | (2.1) |
, , .
3. , .
ER = RE = R | (2.2) |
. , , , . , , ; . ; .
4. , . , 1, ,
P 1 P = RP = PR = PP 1 = E | (2.3) |
, (0, 1, , 9). . {0,1, , 9}. - . , , . . , , . , . ( ; , .) : . , . , 9 1, 8 2, 7 3 . . , . . , - . , , , , {1 2 3 4} → {2 3 4 1}, {3 4 1 2}. , , . . ( ).
2.1*. , , , . .
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