При исследовании свойств симметрии физических объектов и

ВВЕДЕНИЕ

Математическая концепция группы была впервые намечена в общих чертах французским математиком Эваристом Галуа в 1832г.

Теория групп как целое представляет собой достаточно обширный и изящный раздел математики. Имеются группы с конечным и бесконечным числом элементов. Имеются непрерывные и дискретные группы. В данном пособии мы ограничимся только такими типами групп, которые обычно применяют для исследования атомных и молекулярных структур. Однако основополагающие принципы здесь такие же, как и во всей теории групп.

Выбор типов групп, рассмотренных в данной работе, продиктован квантовой механикой. Оператор Гамильтона системы инвариантен по отношению к унитарным преобразованиям (поворотам, инверсиям и т. п.) системы координат и перестановкам тождественных частиц. Это именно те группы, которые будут рассмотрены в данном пособии: группы координатных преобразований и группы перестановок. Однако следует подчеркнуть, что эти группы – не единственно важные для квантовой механики.

Основная часть данной работы посвящена группам преобразований координат, оставляющих систему в исходной конфигурации. Такие группы называются группами симметрии, поскольку они описывают симметрию, присущую системе. Для систем с конечным числом элементов в этих группах симметрии последние можно выразить просто как группу перестановок. Однако группы симметрии могут быть конечными или бесконечными, дискретными или непрерывными. Например, группы симметрии нелинейных молекул дискретны и конечны, а группы симметрии атомов и линейных молекул – непрерывны и бесконечны. Группы, описывающие трансляционную симметрию атомов в кристаллах, дискретны и бесконечны.

Большая часть предлагаемого материала посвящена изучению теории групп симметрии с дискретными элементами – точечных и пространственных групп. Это группы, с которыми наиболее часто сталкиваются большинство химиков. При использовании формализма таких групп, физические операции можно связать с элементами групп, что и позволяет отчётливо представить себе и усвоить многие понятия. Подход к непрерывным группам и группам перестановок воспринимается несколько труднее, чем материал о дискретных группах.

Изложенный материал представляет собой один из разделов курса «Строение вещества» и предназначен для студентов, обучающихся по специальности «Химия».

ГЛАВА I

Векторы и матрицы

Геометрическая интерпретация векторов

При исследовании свойств симметрии физических объектов и

абстрактных функций необходимо точно определить результаты некоторых операций симметрии. Это требует введения преобразований координат точки в системе, определяемой относительно некоторой системы координат (или системы базисных векторов), при переходе к новому набору координат, например, по отношению к той же системе координат или к системе координат, повёрнутых относительно исходной. Такие преобразования обычно записываются в векторном и матричном обозначениях. Вследствие этого мы начнём с краткого введения в теорию векторов и матриц.

При изучении свойств физических систем некоторые свойства, такие, как масса и другие «собственные» свойства, характеризуются единственной величиной. Другие свойства, например скорость и импульс, для адекватного описания в дополнение к величине требуют задания некоторой переменной составляющей (в данном случае направления). Некоторые же свойства определяются двумя, тремя или большим числом независимых компонент. В самом общем случае любое физическое свойство можно описать математической величиной особого рода, называемой тензором. Число независимых компонент, описывающих данное свойство, определяет ранг тензора. Аналитически свойства тензоров выражаются совокупностями чисел. Размерность совокупности, т. е. число индексов, необходимых для её определения, равняется рангу тензора. Таким образом, скаляры, векторы и матрицы являются тензорами ранга нуль, один и два соответственно. Как правило, мы будем рассматривать векторы и матрицы.

Векторы можно рассматривать разными способами, которые на первый взгляд, кажутся различными. Однако по существу, с формальной математической точки зрения все они эквивалентны.

Наиболее наглядным описанием операций над векторами является геометрическое описание. Геометрически вектор представляется как отрезок прямой линии, имеющий определённую длину и определённое направление. Сумма двух векторов определяется как диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, начала которых совмещены (рис. 1.1). Аналогично разность двух векторов определяется как третья сторона треугольника, который получиться, если совместить начала векторов (рис. 1.2). Отметим, что вектор, являющийся разностью двух векторов, направлен таким образом, что его конец примыкает к концу вектора-уменьшаемого. Отметим, что векторам не приписывается никакого знака. Знак минус используют для того, чтобы показать, что векторы – а и – с противоположно направлены относительно векторов а и с.

 

Рис. 1.1. Сумма векторов, имеющих общую начальную точку О.

Рис. 1.2. Разность векторов, имеющих общую начальную точку О.

 

Если требуется найти сумму или разность векторов, можно также расположить их в последовательности «голова-хвост», причём начинать это построение с любого из них. Сумма или разность тогда есть вектор, направленный из начальной точки к «голове» последнего вектора. Знак минус меняет направление вектора на обратное (рис. 1.3). Этот способ очень удобен для выполнения многократного сложения или вычитания векторов (рис. 1.4).

 

Рис. 1.3. Сумма и разность векторов, расположенных в последовательности «голова к хвосту».

 

Рис. 1.4. Многократное сложение и вычитание векторов при использовании расположения «голова к хвосту».

 

Сложение и вычитание векторов удовлетворяет ассоциативному и коммутативному законам, т. е. эти операции можно выполнять в любом порядке, а участвующие в них векторы группировать.

 

a + b – c + d = b + a + d – c = (a + b) + (d – c) = a + (b – c) +

+ d и т. п. (1.1)

 

Таким образом, операции сложения и вычитания векторов совершенно аналогичны сложению и вычитанию обычных скалярных величин. Однако не все операции, которые мы здесь вводим, удовлетворяют ассоциативному и коммутативному законам. Поэтому мы будем специально отмечать те операции, которые этим законам удовлетворяют. Умножение векторов можно определить тремя способами. Произведение двух векторов можно определить как скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов есть скаляр, величина которого равна произведению величин этих векторов на косинус угла между ними.:

 

a · b= ab · cos θ

(1.2)

 

 

Для скалярного произведения выполняется коммутативный закон:

 

a · b= b · a

(1.3)

Второй тип произведения называется векторным произведением. Из этого названия следует, что векторное произведение двух векторов даёт новый вектор. Векторное произведение перпендикулярно к двум векторам, от которых оно образовано. Другими словами, если вектор а направлен по оси х правосторонней декартовой системы координат и вектор b направлен по оси y, то их произведение c =

= a b направлено по оси z (рис. 1.5). Произведение любых двух векторов, лежащих в плоскости xy, находится на оси z, однако его направление зависит от порядка сомножителей

 

(1.4)

 

Таким образом, векторное произведение не удовлетворяет коммутативному закону.

 

Рис. 1.5. Векторное произведение векторов а и b, направленное по осям x и y декартовой системы координат

 

Многократные произведения векторов могут включать различные типы произведений. Например, и представляют собой подобные произведения. Однако в каждом случае результата будет различный. Если произведение равно d и равно e то

 

(1.5)

 

и

 

(1.6)

 

Аналогично

 

(1.7)

 

Величина вектора, являющегося векторным произведением, равна произведению величин сомножителей на синус угла между ними

 

(1.8)

 

Векторное произведение вектора на самого себя должно, таким образом, давать нулевой вектор (вектор, длина которого равна нулю), так как синус нуля равен нулю. Отметим, что величина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b.

Результатом третьего типа произведения векторов, так называемого прямого (или тензорного) произведения, является тензор второго ранга, или матрица. Прямое произведение векторов a и b принято обозначать как или . Роль символа тильда будет объяснена ниже.