Примеры вычисления геометрической вероятности

1. В квадратном трехчлене x² + 6x + a коэффициент а по модулю не больше 10. Он выбирается наудачу. Какова вероятность того, что трехчлен будет иметь вещественные корни?
Дискриминант d этого трехчлена равен 3² – a = 9 – a. Условие вещественности корней: d 0 a 9. На отрезке [–10; 10], длина которого равна 2 0, «благоприятные» значения а занимают отрезок [–10; 9], длина которого 19. Интересующему нас событию следует приписать вероятность

2. В круге произвольно выбирается точка. Какова вероятность того, что ее расстояние до центра круга больше половины?
Построим две концентрические окружности радиуса R и Площадь маленького круга равна площади большого, а площадь кольца между ними – площади большого. Вероятность попадания точки в кольцо следует принять равной

Заметим, что мы игнорируем границы наших областей. Если вероятность мы измеряем площадью, то вероятность попадания точки на границу области равна нулю, так как площадь границы должна быть нулевой.

 

26. Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества.

Перестановками из из элементов называются такие их совокупности, отличающихся друг от друга только порядком вхождения элементов. Их обозначают и определяют по формуле

- факториал числа , определяется по правилу

----------------------------

Пример 3. Сколькими способами можно в детсадку поставить группу из 15 детей в ряд?

Решение. На первое место есть возможность поставить одного из 15 детей, на второе одного из 14 и т.д. Общее количество

Размещением из элементов по называются такие совокупности элементов, отличающихся друг от друга по крайней мере одним элементом или порядком их вхождения ():

----------------------------

Пример 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить с помощью цифр от 1 до 9?

Решение. На первом месте есть возможность поставить одну из 9 цифр, на второе одного из 8 и т.д. Общее количество будет ровно

Сочетаниями из элементов по называются такие комбинации из элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом ():

Пример 5. Сколькими способами можно выбрать три цифры из девяти 1, 2, 3,..., 9?

Решение. Количество всех возможных способов определяем из формулы

27. Элементы комбинаторики: правила суммы и произведения.

ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ

Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в соответствии и способами, тогда какое-то одно из этих действий можно выполнить способами.

Пример 1. Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?

Решение. Проезд из А в В на поезде, самолете или автобусе являются событиями, которые не могут выполняться одновременно одним человеком (взаимоисключающими), поэтому общее количество маршрутов можно вычислить суммированием способов передвижения

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть осуществлены в соответствии и способами. Тогда обе они могут быть выполнены способами.

----------------------------

Пример 2. В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места?

Решение. Первое место займет одна из 8 команд, второе - одна из 7, третье - одна из 6, так как каждая из них не может претендовать одновременно на два призовых места. Поэтому таких способов будет ровно

Оба правила обобщаются на случай любого конечного количества действий. В комбинаторике различают три вида различных соединений (комбинаций) элементов фиксированной множества: перестановки, размещения, сочетания. Ниже будут даны их определения с обозначениями, которые наиболее употребительные

28. Алгебра событий: сумма, произведение событий. Противоположные события. Примеры.

О. Суммой двух событий А и В называется событие, заключающееся в наступлении или А или В или обоих событий вместе. Обозначение: А+В.

(иначе А+В – наступление хотя бы одного из событий)

Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие - попадание 1-го стрелка в мишень и событие - попадание 2-го стрелка в мишень. Сумма событий – это попадание в мишень хотя бы одного из этих стрелков.

О. Произведением А и В называется событие, заключающееся в совместном наступлении А и В. Обозначение: А*В

Пример 1. Если А —деталь годная, В — деталь окрашенная, то — деталь А*В годна и окрашена.

Пример 2. Например, если А;В;С появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

 

О. Пусть А – некоторое событие. Под событием, противоположным ему, понимается событие, состоящее в том, что А не наступило. Обозначение:

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то противоположное событие — промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные.