Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал с помощью интегральной функции распределения

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из промежутка (а,в), вычисляется по формуле: Р(а < X < b) = F(b) – F(а).

Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее вероятностный и геометрический смысл и свойства.

Примеры основных распределений дискретной случайной величины.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал (с помощью дифференциальной функции распределения).

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

. Мат ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений:

 

2. Дисперсия с.в. Х – это мат ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

DX=D(X) = M[X-M(X)]² = M(X²) – (MX)² = M(X²) – m(x)²

3.?Дисперсия имеет размер квадрата с.в. для наглядности в качестве характеристики рассеивания удобного использования числом?

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) случайной величины –

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Основные свойства математического ожидания и дисперсии.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине с:

M [ c ] = c. (6.4)

Доказательствово: представим величину с как случайную величину, которая принимает одно и то же значение, с вероятностью р=1:

M [ c ]= c ∙1= c.

2. При умножении СВ Х на неслучайную величину с не ту же самую величину увеличится ее математическое ожидание:

M [ c × X ] = c× M [ X ]. (6.5)

Доказательство:

3. При прибавлении к СВ Х неслучайной величины с к ее математическому ожиданию прибавляется такая же величина:

(6.6)

Доказательство: следует из свойств 1 и 3.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M [ X + Y ] = M [ X ]+ M [ Y ]. (6.6)

Свойства дисперсии

Дисперсия постоянной величины с равна нулю.

Доказательство: по определению дисперсии

При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины с ее дисперсия не меняется.

D [ X + c ] = D [ X ].

Доказательство: по определению дисперсии

(6.12)

3. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину с ее дисперсия умножается на с².

Доказательство: по определению дисперсии

. (6.13)

Для среднего квадратичного отклонения это свойство имеет вид:

(6.14)

Действительно, при ½С½>1 величина сХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина Х. Следовательно, эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М [ сХ ] больше, чем возможные значения Х вокруг М [ X ], т.е. . Если 0<½с½<1, то .

Правило 3s. Для большинства значений случайной величины абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, или, другими словами, практически все значения СВ находятся в интервале:

[ m - 3 s; m + 3 s; ].(6.15)

49. Нормальное распределение непрерывной случайной величины: плотность вероятности и числовые характеристики.

Говорят, что с.в х распределена нормально с параметрами «а» и «σ», если ее плотность вероятности описывается функцией:

где а и σ —некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

а- мат. ожидание

σ- среднее квадратическое отклонение

Функция распределения F(x) в рассматриваемом случае принимает вид