Функция называется дифференцируемой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: 
, где А1, А2, …, Аm – некоторые не зависящие от ∆х1, ∆х2, …, ∆хm числа, а α1, α2, …, αm – бесконечно малые при 
функции, равные 0 при ∆х1=∆х2=…∆хm=0.
Частная производная функции z=f(x,y) по х – предел отношения частного приращения функции по х к приращению Δх при Δх→0, если он существует и конечен: 
= 
Частная производная функции z=f(x,y) по y- – предел отношения частного приращения функции по y к приращению Δy при Δy→0, если он существует и конечен:: 
= 
Полный дифференциал функции z=f(x,y) - главная линейная относительно 
и ∆у часть приращения функции ∆z в точке (х,у).
dz= 
(x,y)dx+ 
(x,y)dy
Если функция f(x,y) определена в некоторой области D, то её частные производные f’x(x,y), f’y(x,y), тоже будут определены в той же области или её части. Будем называть эти производные производными I-ого порядка. Производные этих функций производными II-ого порядка.
 ;
 ;
|  ;
 .
|
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.
5. Экстремум функции двух переменных: необходимое и достаточное условия.
Понятие максимум, минимум, экстремум функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной. Пусть функция 
определена в некоторой области 
, точка 
.
Определение 2.1. Точка 
называется точкой максимума 
, если существует такая 
-окрестность точки 
, что для каждой точки 
, отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство
.
Определение 2.2. Точка называется точкой минимума 
, если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство
.
Значение функции в точке максимум (минимум) называется максимум (минимум) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер; значение функции в точке 
сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к . В области функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
Рассмотрим условия существования экстремума функции (примем без доказательства).
Теорема 2.1 (необходимое условие экстремума). Если точка является точкой экстремума функции , то 
или хотя бы одна из этих производных не существует.
Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых заранее уверены в существовании максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование.
Например, функция 
имеет частные производные 
, которые обращаются в нуль при 
. Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, значение нуль не является ни максимумом, ни минимумом.
Например, функция 
имеет экстремум в точке 
, но не имеет в этой точке частных производных.
Определение 2.3. Точки, в которых хотя бы одна частная производная равна нулю или не существует, то такие точки называются критическими точками.
Если речь идет о точках, в которых частные производные первого порядка равны нулю, то такие точки называются стационарными точками.
