Типові динамічні ланки безперервних САУ та їх характеристики

 

Чим докладніше математична модель САК, тим вище порядок n її диференціального рівняння. Передавальні функції систем високого порядку (зазвичай n > 4) виявляються громіздкими і незручними для аналізу. Щоб вийти з цього положення, передавальну функцію представляють у вигляді перемноження простих співмножників, порядок яких не перевищує два. Такі співмножники називають типовими ланками.

 

Безінерційна ланка

 

Безінерційна (статична) ланка є найпростішою серед всіх типових ланок. Вона передає сигнал з входу на вихід миттєво, без спотворення його форми. У ланці може відбуватися тільки посилення або послаблення вхідного сигналу.

Зв'язок між миттєвими значеннями вхідної величини x(t) і вихідної величини у(t) описується рівнянням алгебри:

y(t) = kx(t).

Передавальні властивості ланки визначаються лише одним параметром - коефіцієнтом передачі k.

Перехідна функція Імпульсна перехідна функція

 

h(t) = k1(t) w(t) = kd(t)

Рівняння ланки в операційній формі Y(p) = kX(p)

Передаточна функція

ω

φ(ω)

A(w) = |W(jw)| = k

ω=0…∞

P(ω)

jQ(ω)

j(w) = arctg(0/R) = 0 W(jw) = k

A(ω)

ω

 

 

20lgk

ω

L(ω)

 

 

K

X(p)

Y(p)

 

 

L(w) = 20 lg A(w) = 20 lg k

АЧХ і ФЧХ безінерційної ланки показують, що сигнали будь-якої частоти (0; +¥) проходять через ланку з однаковим відношенням амплітуд вихідної і вхідної величини, рівним k і не мають між собою фазового зсуву.

Прикладами безінерційних ланок є редуктор, датчик потенціометра кутового переміщення, тахогенератор, який використовують як датчик частоти обертання і т. д. Пропорційними ланками моделюються підсилювачі, редуктори, дільники напруги і т. п.

Слід зазначити, що поняття безінерційної ланки є продуктом математичної ідеалізації. Насправді всі реальні конструктивні елементи САК володіють деякою інерційністю, оскільки передача енергії з входу на вихід елементу не може здійснюватися миттєво. Проте, якщо інерційність того або іншого елементу на два-три порядки менша, ніж у решти елементів даної системи, то його вважають безінерційною ланкою.

 

5.2. Інерційна ланка першого порядку (аперіодична ланка)

 

Фізично аперіодична ланка містить один елемент, що накопичує енергію, а також один або декілька елементів здатних її розсіювати.

Диференціальне рівняння:

k – коефіцієнт передачі, характеризує властивості ланки в статичному режимі.

Т – постійна часу, характеризує інерційність ланки

 

Коефіцієнт посилення ланки визначає рівень, до якого прагне перехідна характеристика з часом. Дотична, проведена на початку координат до перехідної характеристики, перетинає цей рівень у момент часу, рівний постійної часу аперіодичної ланки Т. Ці властивості аперіодичної ланки, а також те, що перехідний процес закінчується приблизно за час, що дорівнює 3Т, дозволяє визначати параметри ланки (коефіцієнт посилення і постійну часу) по його експериментальній перехідній характеристиці.

Рівняння ланки в операторній формі (Tp+1)Y(p) = kX(p)

Передаточна функція

АФЧХ: АЧХ:

k/2

ω=∞

jQ(ω)

ω=1/T

ω=0

P(ω)

k

 

 

 

Аналізуючи графік функції , видно, що гармонійні сигнали малої частоти () пропускаються ланкою добре - з відношенням амплітуд вихідної і вхідної величин, близьким до передавального коефіцієнта k. Сигнали великої частоти () погано пропускаються ланкою: відношення амплітуд істотно менше коефіцієнта k. Чим більше постійна часу Т, тобто чим більше інерційність ланки, тим менше АЧХ витягнута уздовж осі частот, або, як прийнято говорити в ТАУ, тим вужче смуга пропускання частот. Таким чином, інерційна ланка першого порядку по своїх частотних властивостях є фільтром низької частоти.

 

 

ФЧХ:

ВЧХ:

 

L(ω)

20lgk

lgωc

-20дБ/дek

lgω

 

МЧХ:

ЛАЧХ:

У практичних розрахунках використовують наближену або асимптотичну характеристику , яка є ламана у вигляді двох асимптот.

Першу асимптоту (низькочастотна) маємо при низьких частотах, коли величиною у виразі можна нехтувати і прийняти, що . Низькочастотна асимптота від частоти не залежить і є прямою, паралельною осі частот і віддалену від неї на відстані .

Друга асимптота (високочастотна) замінює точну характеристику при великих частотах, коли , і одиницю під коренем у виразі можна не враховувати. Вираз для цієї асимптоти має вигляд: .

Ця асимптота залежить від частоти. У логарифмічній системі координат вона є прямою, що має негативний нахил і що проходить через точку з координатами , . Приріст високочастотної асимптоти, що приходить на одну декаду, рівний -20 дб.

Значення сполучної частоти при якій перетинаються обидві асимптоти, знайдемо з умови , звідки .

Інерційними ланками першого порядку є конструктивні елементи, які можуть накопичувати і передавати енергію або речовину. У електричних елементах накопичувачем енергії електричного поля служить конденсатор, а магнітного поля - індуктивність. У механічних елементах потенційна енергія накопичується в пружинах і інших пружних елементах, а кінетична - в рухомих масах.

 

 

k = 1 T = RC k = 1 T = L/R

Інтегруючі ланки

 

Розрізняють два види інтегруючих ланок: ідеальні і реальні. Загальною особливістю інтегруючих ланок є пропорційність похідної вихідної величини миттєвому значенню вхідної величини. Причому, у ідеальної інтегруючої ланки пропорційність існує у будь-який момент часу після подачі стрибкоподібного сигналу, а у реального - тільки після завершення перехідного процесу.

(1) Ідеальна інтегруюча ланка: , , T – постійна часу ідеального інтегратора.

(2) Реальна інтегруюча ланка:

- ПФ ідеальне: , реальне

ідеальне (1)

реальне (2)

Перехідна функція ідеального інтегратора лінійно зростає з часом. Швидкість росту зворотно пропорційна постійною часу інтегратора. Вихідний сигнал інтегратора досягає рівня стрибкоподібної функції за час, що дорівнює постійній часу Т інтегратора.

 

(1) (2)

(1) (1)

(2) (2)

(1) (2)

 

Інтегруючі властивості властиві всім об'єктам керування, в яких відбувається накопичення речовини або енергії без її одночасної віддачі в навколишнє середовище. Класичним прикладом об'єкту з інтегруючими властивостями є резервуар з рідиною (рис. 3.13, а), якщо в якості вхідноі змінної розглядати подачу рідини Q (м3/с), а вихідної - рівень рідини h (м).

Інтегруючими ланками є також різні виконавчі двигуни і механізми - пристрої, які переміщають регулюючі органи (шибери, заслінки, вентилі і т. д.).

Загальні властивості і особливості інтегруючих ланок:

1.Після подачі стрибкоподібного вхідного впливу вихідна змінна у(t) необмежено зростає і після закінчення перехідного процесу змінюється по лінійному закону .

При знятті вхідного впливу вихідна змінна зберігає досягнуте значення, тому інтегруючі ланки можна використовувати як елементи, що запам'ятовують (елементів з пам'яттю).

2. У передавальну функцію обов'язково входить співмножник 1/p, тому , а .

3. Інтегруючі ланки, є фільтрами низької частоти; у режимі гармонійного коливання вони вносять від’ємні фазові зсуви.

 

 

Диференцюючі ланки

Бувають ідеальними (безінерційними) і реальними (інерційними). Миттєве значення вихідної величини ідеальної диференціальної ланки пропорційне в кожен момент часу першої похідної від вхідної величини:

W(p) = kp;

T

h(t)

1)

1) 1)

φ(ω)

900

450

ω

ωc=1/T

2) 2)

 

1)

2)

 

Загальні властивості і особливості диференцюючих ланок:

1. При подачі на вхід ланки стрибкоподібного впливу на його виході виникає великий короткочасний імпульс, а потім після закінчення перехідного процесу вихідна змінна стає рівною нулю. Якщо вхідний сигнал не змінюється в часі, то вихідний дорівнює нулю.

2. У передавальну функцію завжди входить співмножник p, тому W(p)|_p=0=0, і диференцюючі ланки в статиці не передають вхідні сигнали.

3. Диференцюючі ланки є фільтрами високої частоти, тобто добре пропускають високочастотні сигнали і погано - низькочастотні.