Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћетоды решени€ систем линейных нормальных уравнений




ƒенежки счет люб€т

( ак ¬ы уже пон€ли, геодези€ Ц тоже)

 

135.1. —пособ матричных преобразований

 

¬ качестве примера рассмотрим решение системы четырех линейных уравнений матричным способом:

 

1. 4 х1 Ц 2 х2 + 3 х3 Ц 2 х4 = +1;

2. - 2 х1 + 5 х2 Ц 2 х3 + х4 = + 6; (14.53)

3. 3 х1 Ц 2 х2 + 3 х3 Ц 4 х4 = - 8;

4. - 2 х1 + х2 Ц4 х3 + 2 х4 = - 4.

—оставим матрицу коэффициентов при хi, правых частей и контрольного столбца, равного суммам коэффициентов и правой части каждого уравнени€ по соответствующй строке матрицы:

 

(14.54)

—оставление контрольного столбца €вл€етс€ об€зательным! ѕосле математических действий с полной строкой, включа€ и контрольный столбец, всегда следует выполн€ть проверку сумм коэффициентов уравнений правой и левой частей с полученным новым значением контрольного столбца. ќни должны совпадать в пределах округлений результатов. ≈сли этого не делать, то погрешность в вычислени€х вы€витс€ только после решени€ систем уравнений. ј процесс этот довольно трудоемкий, и без посто€нного контрол€ вс€ работа может оказатьс€ напрасной.

»з математики известно, что результат решени€ не изменитс€, если:

- любую строку матрицы помен€ть местами с другой строкой;

- любую строку матрицы умножить или разделить на одно и то же посто€нное число.

–ешение матрицы сводитс€ к образованию т.н. треугольной матрицы вида

. (14.55)

 

“аким образом получаетс€ система линейных уравнений

a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4 = m1

b2k2 + b3k3 + b4k4 = m2 (14.56)

c3k3 + c4k4 = m3

d4k4 = m4

дл€, например, четырех линейных уравнений. »з последней строки наход€т значение k4:

(14.57)

и последовательной подстановкой в уравнени€ (14.56) решают задачу.

 онтроль решени€ осуществл€етс€ подстановкой полученных значений k в исходные уравнени€ (14.53).

ѕроследим решение на приведенном примере.

Ўаг 1. ќбразовать 1-й нулевой столбец в строках 2, 3 и 4 матрицы (14.54). ƒл€ этого умножим 2-ю и 4-ю строки на (+2), а 3-ю строку Ц на (-4/3). ѕолучим:

. (14.58)

 

«атем последовательно сложим 2-ю, 3-ю и 4-ю строки (14.58) с первой строкой этой матрицы:

 

. (14.59)

 

Ўаг 2. ќбразовать 2-й нулевой столбец в строках 3 и 4 (14.59). ѕри этом в примере дл€ строки 4 нет необходимости в преобразовани€х, поскольку в ней на второй позиции уже имеетс€ ноль. ¬ св€зи с этим достаточно преобразовать только 3-ю строку. ƒл€ этого умножим ее на (-12)

 

(14.60)

 

и сложим полученную строку со 2-й строкой той же матрицы:

 

. (14.61)

 

Ўаг 3. ќбразовать нулевой 3-й столбец (14.61) в строке 4, дл€ чего требуетс€ умножить его на (+2,2)

(14.62)

 

и сложить со строкой 3 этой же матрицы (14.62):

 

(14.63)

 

¬ результате система линейных уравнений (14.53) преобразуетс€ к виду:

1. +4 k1 Ц 2 k2 + 3 k3 - 2 k4 = + 1;

2. +8 k2 - k3 = + 13;

3. +11 k3 - 40 k4 = - 127; (14.64)

4. Ц 35,6 k4 = - 142,4.

»з уравнени€ 4 (14.64) находим k4 = +4. »з уравнени€ 3 подстановкой в него значени€ k4 находим k3 = +3. »з уравнени€ 2 подстановкой k3 (коэффициент при k4 равен нулю) находим k2 = +2. »з уравнени€ 1, после подстановки значений k2, k3 и k4, находим k1 = +1.

¬ качестве замечаний к решению систем линейных уравнений необходимо указать следующее. ѕри уравнивании значени€ коэффициентов и свободных членов системы линейных уравнений часто €вл€ютс€ не целыми числами, а дробными. ¬ св€зи с этим рекомендуетс€ величины весов и обратных весов округл€ть до 0,01 Ц 0,001 ед., значени€ коэффициентов при неизвестных округл€ть до 0,0001ед., получаемые значени€ неизвестных округл€ть до 0,001 Ц 0,0001 ед. ѕри этом, как указывалось выше, поправки в углы часто округл€ют до 0,1" Ц 0,01", в рассто€ни€ (приращени€ координат) Ц до 1 мм, в превышени€ Ц до 0,1 Ц 1,0 мм.

 

135.2. –ешение систем линейных уравнений по алгоритму √аусса

 

¬ основе алгоритма √аусса лежит метод последовательного исключени€ неизвестных, рассмотренный выше. јлгоритм весьма прост вследствие простых однотипных действий на каждом последующем шаге вычислений. ѕри этом обеспечиваетс€ надежный контроль промежуточных результатов.  роме того, алгоритм √аусса упрощает решение систем линейных уравнений при введении в них дополнительных граф, необходимых дл€ вычислени€ весов уравненных элементов или их функций (об этом будет сказано позже).

јлгоритм √аусса рассмотрим на примере системы четырех линейных уравнений вида:

;

; (14.65)

;

.

”кажем, что в этой системе линейных уравнений, составленных при решении задачи уравнивани€, коэффициенты с одинаковыми двойными индексами €вл€ютс€ квадратичными (диагональными). ƒиагональные коэффициенты по условию их получени€ при составлении условных линейных уравнений всегда положительные.  оэффициенты, имеющие обратные индексы, равны между собой. ¬ св€зи с симметрией коэффициентов относительно диагональных таблицу коэффициентов обычно записывают сокращенно в таком виде:

, (14.66)

име€ в виду наличие и симметричных коэффициентов на незаполненных местах.

—оставим т.н. элинимационное уравнение, которое в алгоритме √аусса обозначают буквой ≈. Ёто уравнение представл€ет собой выражение первого неизвестного z 1 через остальные (уравнение ≈1):

. (14.67)

ѕодставим в уравнени€ (14.65) полученное значение z 1 и запишем новую систему линейных уравнений без неизвестного z 1:

;

; (14.68)

.

¬ведем следующие обозначени€:

; ; ;

; ; ;

; ; .

ƒл€ полученных коэффициентов сохран€ютс€ все особенности системы линейных уравнений с диагональными коэффициентами, имеющими одинаковые двойные индексы (22, 33, 44 и т.д., если уравнений более 4-х). “аким образом, можно записать преобразованную систему линейных уравнений:

;

; (14.69)

.

—оставим второе элинимационное уравнение ≈2:

. (14.70)

ѕодставим значение z 2 в уравнени€ (14.69):

;

. (14.71)

—нова введем обозначени€:

; ; ;

; .

¬ результате получим систему линейных уравнений с двум€ неизвестными:

(14.72)

“ретье элинимационное уравнение (≈3) в этом случае имеет вид:

(14.73)

ѕодставим значение z 3 в уравнени€ (14.72), получим

. (14.74)

¬вед€ в уравнение (14.74) соответствующие обозначени€, как и в предыдущих случа€х, получим окончательное уравнение с одним неизвестным в обозначени€х √аусса:

. (14.75)

»з уравнени€ (14.75) найдем

. (14.76)

«атем, дл€ определени€ остальных неизвестных, воспользуемс€ последовательно элинимационными уравнени€ми ≈3, ≈2 и ≈1, в результате чего получим значени€ z 3, z 2 и z 1.

ќбратим внимание на то, что дл€ определени€ неизвестных нужны только элинимационные уравнени€. ќстальные уравнени€ не используютс€.

ѕредставим схему решени€ системы четырех линейных уравнений в виде таблицы √аусса (табл. 14.1).

«апись коэффициентов N в строке (3), (7), (12) сокращенна€, только вправо от диагональных коэффициентов. Ќо контрольна€ сумма этой строки учитывает все коэффициенты, сто€щие слева от диагонального. ¬ первой строке записываютс€ все коэффициенты.

ѕосле заполнени€ с вычислени€ми и контролем строк (1), (2), (3) и (4), что не требует по€снений, заполн€ют строку (5).  оэффициенты в этой строке равны сумме (3) и (4) строк по столбцам. ѕо аналогии со строкой (2) получают коэффициенты второго элинимационного уравнени€ ≈2. ¬ строку (7) занос€т в сокращенном виде коэффициенты и свободный(ые) члены третьего нормального уравнени€. ѕосле вычислени€ строк (8) и (9) по суммам в столбцах строк (7), (8) и (9) получают коэффициенты строки (10). ¬се дальнейшие действи€ аналогичны приведенным выше до вычислени€ коэффициентов в данном случае последнего элинимационного уравнени€ ≈4.  оэффициент N 55 представл€ет собой указанную в строке (18) сумму произведений весов на квадраты свободных членов. ѕри суммировании столбца по значени€м строк (18) Ц (22) получают значение N 55(4) = [ pv 2].

«начени€ неизвестных zi получают с помощью элинимационных уравнений:

;

; (14.77)

;

.

–ассмотрим пример решени€ системы линейных уравнений по алгоритму √аусса. ƒл€ этого решим систему уравнений (14.53)

1. 4 х1 Ц 2 х2 + 3 х3 Ц 2 х4 Ц 1 = 0;

2. - 2 х1 + 5 х2 Ц 2 х3 + х4 Ц 6 = 0;

3. 3 х1 Ц 2 х2 + 3 х3 Ц 4 х4 + 8 = 0;

4. - 2 х1 + х2 Ц4 х3 + 2 х4 + 4 = 0.

–ешение уравнений выполним по приведенному выше алгоритму в табл. 14.2.

¬ табл. 14.2 приведен только пример вычислени€ неизвестных х без оценки точности (указанные примеры будут рассмотрены отдельно).

 

“аблица 14.1

јлгоритм √аусса решени€ систем линейных уравнений

єє п/п ƒейст-ви€ z1 z2 z3 z4 L
           
  N1 N11 N12 N13 N14 L1 1
  1 - 1 E1
  N2   N 22 N 23 N 24 L 2 2
  E12 N   E12 N 12 E12 N 13 E12 N 14 E12 L 1 E121
  N2(1)   N 22(1) N 23(1) N 24(1) L 2(1) N2(1)
  E2   - 1 E2
  N3     N 33 N 34 L 3 3
  E13 N     E13 N 13 E13 N 14 E13 L 1 E131
  E23 N (1)     E23 N 23(1) E23 N 24(1) E23 L 2(1) E23N2(1)
  N3(2)     N 33(2) N 34(2) L 3(2) N3(2)
  E3     - 1 E3
  N4       N 44 L 4 4
  E14 N       E14 N 14 E14 L 1 E141
  E24 N (1)       E24 N 24(1) E24 L 2(1) E24N2(1)
  E34 N (2)       E34 N 34(2) E34 L 3(2) E34N3(2)
  N4(3)       N 44(3) L 4(3) N4(3)
  E4       - 1 E4
  N5         [ pll ] 5
  E15 N         E15 L 1 E151
  E25 N (1)         E25 L2 (1) E25N2(1)
  E35 N (2)         E35 L3 (2) E35N3(2)
  E45 N (3)         E45 L4 (3) E45N4(3)
  N 5(4)         N 55(4) ≈ [ pv2 ]

 

“аким образом, значение х 4 = ≈45 = +3,999 ≈ +4.

х 3 = +3,639 ∙ (+3,999) Ц 11,553 = +2,999 ≈ +3.

х 2 = +0,125 ∙ (+2,999) + 0 + 1,625 = +2.

х 1 = +0,5 ∙ (+2) Ц 0,75 ∙ (+3) + 0,5 ∙ (+4) + 0,25 = +1.

ѕолучены такие же ответы, как и в способе матричных преобразований.

Ќезначительные отклонени€ от значений вызваны необходимостью округлени€ промежуточных результатов вычислений.

“аблица 14.2

–ешение системы линейных уравнений (14.53) по алгоритму √аусса

єє п/п ƒейст-ви€ х1 х2 х3 х4 L
           
  N1 +4 -2 +3 -2 -1 +2
  1 -1 +0,5 -0,75 +0,5 +0,25 -0,5 (-0,5)
  N2   +5 -2 +1 -6 -4
  E12 N   -1 +1,5 -1 -0,5 +1,0 (+1,0)
  N2(1)   +4 -0,5   -6,5 -3
  E2   -1 +0,125   +1,625 +0,75
  N3     +3 -4 +8 +8
  E13 N     -2,25 +1,5 +0,75 -1,5 (-1,5)
  E23 N (1)     -0,063   -0,813 -0,375
  N3(2)     +0,687 -2,5 +7,937 +6,125(+6,124)
  E3     -1 +3,639 -11,553 -8,916
  N4       +2 +4 +1
  E14 N       -1 -0,5 +1
  E24 N (1)            
  E34 N (2)       -9,098 +28,883 +22,289(+22,285)
  N4(3)       -8,098 +32,383 +24,289(+24,285)
  E4       -1 +3,999 +2,999

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-11-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1457 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

„тобы получилс€ студенческий борщ, его нужно варить также как и домашний, только без м€са и развести водой 1:10 © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

1502 - | 1447 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.035 с.