Примеры параметрического способа уравнивания

139.1. Уравнивание углов в полигоне

 

Задача решается с использованием исходных данных § 137, п. 137.1. Дополнительно известен дирекционный угол линии АВ (α_АВ = 91° 47' 14,6").

Вообще говоря, если дирекционный угол исходной стороны неизвестен либо не может быть в настоящий момент определён, то в качестве исходного можно принять любое условное значение дирекционного угла любой стороны фигуры и выполнить уравнивание.

Шаг 1. Общее число измерений n = 4, число необходимых измерений k = 3, число избыточных измерений r = 1.

Шаг 2. Выбираем параметры t_j (их число должно быть равно числу необходимых измерений, т.е. 3).

В качестве параметров выбираем дирекционные углы сторон фигуры:

t₁ = α_BC; t₂ = α_СD; t₃ = α_DA.

Шаг 3. Составляем параметрические уравнения, т.е. выражаем все измеренные величины через выбранные параметры t_j:

;

; (14.147)

;

.

Шаг 4. Находим приближённые значения t_j⁰ параметров t_j:

(14.148)

Шаг 5. В соответствии с функциями (14.147) находим коэффициенты a_ij и свободные члены l_i параметрических уравнений поправок ν_i:

а11 = 0;	а 12 = 0;	а 13 = + 1;
а 21 = - 1;	а 22 = 0;	а 23 = 0;
а 31 = +1;	а 32 = - 1;	а 33 = 0;
а 41 = 0;	а 42 = + 1;	а 43 = - 1.

(14.149)

Как видно, значение W_β представляет собой угловую невязку в полигоне, т.е. в данном случае свободный член равен угловой невязке с обратным знаком. Поскольку W_β = + 7", то l₄ = - 7".

Таблица 14.16

Матрица коэффициентов, свободных членов и весов

j→ i↓				li	pi
			+1		0,221
	-1				0,459
	+1	-1			0,473
		+1	-1	-7	0,225

 

Составим таблицу (14.16) коэффициентов a_ij, свободных членов l_i и весов p_i измеренных величин.

Шаг 6. Составим и решим систему нормальных уравнений поправок τ_j.

Запишем уравнения поправок τ_j в развернутом виде в соответствии с параметрами, указанными в табл. 14.16:

(14.150)

После подстановки значений, приведенных в табл. 14.16, получим окончательный вид уравнений поправок τ_j:

(14.151)

Из решения системы уравнений (14.151) получим:

τ ₁ = +1,15"; τ₂ = +2,27"; τ₃ = -2,39"

Шаг 7. Вычисляем значения поправок τ _j с округлением до 0,1":

(14.152)

Контроль: сумма поправок равна невязке с обратным знаком.

Сравните полученные значения поправок с поправками, полученными в коррелатном способе уравнивания (п. 137.1).

Дальнейшие вычисления сводятся к определению уравненных значений параметров t_j по формуле (14.138), а также к вычислению уравненных значений измеренных углов по формуле (14.136).

 

139.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками

 

При объяснении решения задачи уравнивания системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками параметрическим способом используем исходные данные § 137, п. 137.2.

Далее не будем обозначать пошаговым способом алгоритм решения задачи, но сохраним ту же последовательность действий, как это и производилось выше в некоторых примерах.

В качестве параметров t_j выбираем высоты точек 1, 2, 3 и 4 (число параметров должно быть равно числу необходимых измерений, т.е. 4):

t ₁ = Н₁; t₂ = Н₂; t₃ = Н₃; t ₄ = Н₄.

Составим параметрические уравнения связи, т.е. выразим измеренные величины через функции выбранных параметров:

(14.153)

Найдем приближённые значения выбранных параметров (задачу решим без предварительного уравнивания системы нивелирных ходов):

В соответствии с функциями (14.153) находим коэффициенты a_ij и свободные члены уравнений поправок.

Свободные члены находим как невязки в уравнениях (14.153):

Составим матрицу коэффициентов, свободных членов и весов (табл. 14.17).

По установленным выше правилам составим нормальные уравнения поправок с учётом данных, приведённых в табл. 14.17:

(14.154)

Из решения системы линейных уравнений (14.154) находим:

τ ₁ = - 1,700; τ₂ = + 1,466; τ₃ = - 4,672; τ ₄ = +10,026.

 

Таблица 14.17

Матрица коэффициентов, свободных членов и весов

j→ i↓					li
	+1					2,38
		+1				1,47
	-1	+1			+7	0,93
	-1			+1	-17	2,56
		+1		-1	+6	0,76
		-1	+1		+16	0,98
			-1	+1	-6	0,66
				-1		0,58
			-1			0,84

 

Вычисляем значения поправок в превышения, предварительно составив уравнения поправок, исходя из табл. 14.17:

(14.155)

Не будем проводить дальнейшие вычисления, поскольку их результаты будут такими же, как и в примере уравнивания данной системы нивелирных ходов коррелатным способом (сравните поправки в превышения в том и другом способах). Но это делается только с целью сокращения объёма учебника. Вам же во всех задачах необходимо выполнять полный контроль результатов уравнивания, т. е. необходимо полностью убедиться в правильности решения задачи. Вы можете самостоятельно проверить уравненные значения выбранных в этом примере параметров (высот точек 1, 2, 3 и 4) суммированием их приближённых значений с соответствующими поправками τ_j. Например, Н₁ = 81922 – 1,700 = 81920 мм = 81,920 м.

 

139.3. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками

 

При решении задачи уравнивания систем полигонометрических ходов с одной или несколькими узловыми точками устанавливают число независимых полигонометрических ходов, включающих данные узловые точки и узловые линии. Для каждого из выбранных ходов составляют три уравнения поправок: одно уравнение – по условию суммы горизонтальных углов; два уравнения характеризуют условия координат (для координат х и координат у).

Решение указанной задачи рассмотрим на примере системы полигонометрических ходов с теми же исходными данными (раздел 137.3).

Шаг 1.Общее число измерений n = 19, число необходимых измерений k = 10, число избыточных измерений r = 9.

Шаг 2. Выбор параметров t_j.

В качестве параметров t_j выбираем координаты точек 1, 2, 3, М и N: x₁ = t₁, y₁ = t₂; x₂ = t₃, y₂ = t₄; x₃ = t₅, y₃ = t₆; x_M = t₇, y_M = t₈; x_N = t₉, y_N = t₁₀.

Шаг. 3. Выражение измеренных величин через выбранные параметры по аналогии с формулами (14.153).

Для этого примем для расчётов три независимых полигонометрических хода: (1): А-В-1-M-F-E; (2): A-B-1-M-N-2-C-D; (3): H-G-3-N-2-C-D (как и при уравнивании коррелатным способом).

Предлагаем самостоятельно составить соответствующие формулы на основе пояснений для формул (14.105) – (14.132).

Шаг 4. Определение приближённых значений t_j⁰ параметров t_j.

 

Таблица 14.18

Предварительная обработка ведомости координат

№№ точек	Гориз.углы β	Дирекц.углы α	Рассто-яния s, м	Приращения координат, м	Координаты, м	№№ точек
Δх	Δу	Х	Y
A				Ход (1)
71°08'14,3"
B	226°15'25" +0,9"	7183,652	4380,124	B
117°23'40,2"	475,885	-218,962 -2	+422,519 -2
	201°36'36" +1,0"	6964,688	4802,641
139°00'17,2"	693,027	-523,072 -3	+454,623 -4
M	280°34'07" +0,9"	6441,613	5257,260	M
239°34'25,1"	625,329	-316,686 -3	-539,209 -3
F	84°46'52" +0,9"	6124,924	4718,048	F
144°21'18,0"	∑d 1794,241	Wx +8 мм	Wy +9 мм
Е	793°13'00,0" 793°13'03,7" -3,7"
		Ход (2)
А
71°08'14,3"
В	226°15'25" +0,9"	7183,652	4380,124	B
117°23'39,3"	475,885	-218,962 -3	+422,519 -1
	201°36'36" +0,9"	6964,687	4802,642	1
139°00'15,3"	693,027	-523,072 -4	+454,623 -1
M	85°02'31" +0,9"	6441,611	5257,264	M
44°02'46,3"	857,338	+616,229 -6	+596,062 -2
N	170°15'07" +0,9"	7057,834	5853,324	N
34°17'53,3"	401,239	+331,466 -3	+226,104 -1
	172°53'18" +0,9"	7389,297	6079,427
27°11'11,3"	841,215	+748,273 -5	+384,357 -2
C	271°07'58" +0,9"	8137,565	6463,782	С
118°19'14,7"	∑d 3268,704	Wx +21 мм	Wy +7 мм
D	1127°10'55,0" 1127°11'00,4" -5,4"
		Ход (3)
H
339°58'14,2"
G	78°21'28" +1,3"	7894,521	7173,596	G
238°19'42,2"	573,421	-301,072 -3	-488,024 +3
	178°54'26" +1,3"	7593,446	6685,575
237°14'08,2"	989,716	-535,610 -6	-832,262 +5
N	337°03'44" +1,3"	7057,830	5853,318	N
34°17'52,2"	401,239	+331,467 -2	+226,102 +2
	172°53'18" +1,3"	7389,295	6079,422
27°11'10,2"	841,215	+748,274 -4	+384,356 +4
C	271°07'58"	8137,565	6463,782	С
118°19'14,7"	∑d 2805,591	Wx +15 мм	Wy -14 мм
D	1038°20'54,0" 1038°21'00,5" -6,5"

 

Для этого по каждому из ходов выполним расчёты (см. в табл. 14.18), но с использованием способа раздельного уравнивания как это выполняется при обработке разомкнутого теодолитного хода (гл. 7).

Приближённые значения параметров из уравнивания раздельным способом проведены в табл. 14.19.

Таблица 14.19

Пункты				M	N
X, м	6964,6875	7389,2960	7593,4460	6441,6120	7057,8320
Y, м	4802,6415	6079,4245	6685,5750	5257,2620	5853,3210

 

Шаг 5. Приведение функций взаимосвязи измеренных величин к линейному виду, вычисление коэффициентов a и b и свободных членов l уравнений поправок.

Запишем уравнения поправок в измеренные величины с учётом того, что погрешности исходных данных приняты нами равными нулю.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. (14.156)

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Пользуясь таблицами 14.18 и 14.19, найдем из решения обратных геодезических задач предварительные значения дирекционных углов и расстояний (табл. 14.20).

Таблица 14.20

 

Направ-ление	Дирекционный угол	Расстояние, м	Направ-ление	Дирекционный угол	Расстояние, м
В-1	117o23'41,6"	475,8850	2-C	27o11'16,3"	841,2117
1-М	139o00'18,4"	693,0280	M-F	239o34'25,3"	625,3343
M-N	44o02'50,0"	857,3292	G-3	238o19'41,9"	573,4201
N-2	34o17'57,5"	401,2371	3-N	237o14'09,1"	989,7116

 

Вычислим коэффициенты условных уравнений поправок по формулам (14.111) и (14.112) – табл. 14.21.

Таблица 14.21

 

		a	b
Cos αB1o = -0,46012 Sin αB1o = 0,88786	B1	38,4828	19,9432
1B	-38,4828	-19,9432
Cos α1Mo = -0,75477 Sin α1Mo = 0,65599	1M	19,5241	22,4641
M1	-19,5241	-22,4641
Cos αMNo = 0,71876 Sin αMNo = 0,69526	MN	16,7273	-17,2928
NM	-16,7273	17,2928
Cos αN2o = 0,82610 Sin αN2o = 0,56352	N2	28,9688	-42,4677
2N	-28,9688	42,4677
Cos α2Co = 0,88951 Sin α2Co = 0,45691	2C	11,2034	-21,8109
C2	-11,2034	21,8109
Cos αMFo = -0,50643 Sin αMFo = - 0,86228	FM	28,4422	-16,7045
MF	-28,4422	16,7045
Cos α3No = -0,54118 Sin α3No = - 0,84090	N3	17,5252	-11,2787
3N	-17,5252	11,2787
Cos αG3o = -0,52505 Sin αG3o = - 0,85107	3G	30,6139	-18,8866
G3	-30,6139	18,8866

 

Получим значения свободных членов: для угловых поправок – в секундах; для поправок в расстояния – в дециметрах.

Свободные члены для уравнений поправок в углы найдём как разницу вычисленного горизонтального угла в точке (с использованием предварительных значений дирекционных углов (табл. 14.20)) и измеренным его значением. Свободные члены в уравнения поправок в расстояния определим как разность предварительного значения расстояния (табл. 14.20) и измеренного его значения. (Аналогичные вычисления производятся и в случае обработки одиночного полигонометрического хода). Значения полученных поправок приведены в табл. 14.22.

Табл. 14.22

 

Обозначение поправки	Значение поправки	Обозначение поправки	Значение поправки	Обозначение поправки	Значение поправки
lβ1	+2,3"	lβ8	+0,7"	l s4	-0,019
lβ2	+0,8"	lβ9	+4,4"	l s5	-0,033
lβ3	+0,6"	lβ10	+1,2"	l s6	+0,053
lβ4	+0,5"	lβ11	-0,3"	l s7	-0,044
lβ5	+0,8"	l s1	0,000	l s8	-0,009
lβ6	+0,4"	l s2	+0,010
lβ7	-0,1"	l s3	-0,088

 

C учётом коэффициентов (табл. 14.21) и свободных членов (табл. 14.22) уравнения поправок (14.156) примут вид:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. (14.157)

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Составим матрицу коэффициентов, свободных членов и весов для получения коэффициентов уравнений поправок (табл. 14.23).

 

 

Таблица 14.23

 

	1(ξ1)	2(η1)	3(ξ2)	4(η2)	5(ξ3)	6(η3)	7(ξM)	8(ηM)	9(ξN)	10(ηN)	li	Pi
	-38,483	-19,943									+2,3
	58,007	42,407					-19,524	-22,464			+0,8
	-19,524	-22,464					36,251	5,171	-16,727	17,293	+0,6
			-28,969	42,468			-16,727	17,293	45,696	-59,760	+0,5
			40,172	-64,279					-28,969	42,468	+0,8
			-11,203	21,811							+0,4
	-19,524	-22,464					-8,918	39,169			-0,1
							28,444	-16,704			+0,7
			-28,969	42,468	17,525	-11,279			11,444	-31,189	+4,4
					-48,139	30,165			17,525	-11,279	+1,2
					30,614	-18,887					-0,3
	-0,4601	0,8879									0,000	1,235
	0,7548	-0,6560					-0,7548	0,6560			+0,010	1,235
							-0,7188	-0,6953	0,7188	0,6953	-0,088	1,235
			0,8261	0,5635					-0,8261	-0,5635	-0,019	1,235
			-0,8895	-0,4569							-0,033	1,235
							0,5064	0,8623			+0,053	1,235
					-0,5250	-0,8511					-0,009	1,235
					0,5412	0,8409			-0,5412	-0,8409	-0,044	1,235

 

Шаг 6. Составление и решение нормальных уравнений параметрических поправок.

В результате обработки табл. 14.23 получим систему нормальных уравнений поправок к выбранным параметрам:

(14.158)

Из решения системы линейных уравнений одним из известных способов получим:

;

(14.159)

Шаг 7. Вычисление поправок, уравненных значений измеренных величин и контроль уравнивания.

Вычислим по формулам (14.157) значения поправок в измеренные величины (табл. 14.24).

Таблица 14.24

 

Обозначение поправки	Значение поправки	Обозначение поправки	Значение поправки	Обозначение поправки	Значение поправки
ν β1	+1,1"	ν β8	+0,8"	ν s4	-4,8 мм
ν β2	+1,1"	ν β9	+1,3"	ν s5	-36,1 мм
ν β3	+0,3"	ν β10	+1,3"	ν s6	+10,0 мм
ν β4	+0,2"	ν β11	+1,3"	ν s7	-19,4 мм
ν β5	+1,4"	ν s1	-2,6 мм	ν s8	-19,9 мм
ν β6	+1,3"	ν s2	+5,2 мм
ν β7	+0,7"	ν s3	+22,5 мм

 

Здесь необходимо выполнить предварительный контроль вычисления поправок в углы: сумма поправок по данному полигонометрическому ходу должна быть равна невязке этого хода с обратным знаком. Допустимы расхождения в пределах погрешностей округлений. В примере имеются расхождения до 0,1" (проверьте по суммам соответствующих поправок).

Далее введём поправки в предварительные значения параметров (координат точек), т.е. выполним окончательное уравнивание координат (табл. 14.25). Для этого к значениям координат табл. 14.19 следует прибавить соответствующие поправки (14.159).

Таблица 14.25

 

Пункты				M	N
X', м	6964,6911	7389,3236	7593,4597	6441,6144	7057,8604
Y', м	4802,6405	6079,4427	6685,5889	5257,2660	5853,3433

 

Используя данные табл. 14.25 и таблицы координат исходных точек, вычислить уравненные значения дирекционных углов и расстояний (таблица уравненных значений дирекционных углов и расстояний подобна табл. 14.20).

Далее необходимо проверить качество уравнивания всех горизонтальных углов и расстояний по следующей схеме:

- вычислить разность уравненных дирекционных углов направлений, образующих угол (α_B1 – α_BA = 117^o23'40,4" – 251^o08'14,3" = 226^o15'26,1");

- вычислить уравненное значение угла, т.е. к измеренному значению угла прибавить полученную поправку (β₁' = 226^о15'25,0" + 1,1" = =226^о15'26,1"); как видим, разница контрольного угла и уравненного его значения получились одинаковыми в пределах погрешности округлений;

- вычислить уравненное зачение расстояния как сумму измеренного расстояния и поправки в него, полученной в табл. 14.24 (s₁' = 475,8850 - 0,026 = = 475,8824 м); из решения обратной геодезической задачи получено такое же значение (разности могут быть также в пределах округлений).

Указанные вычисления следует выполнить для всех измеренных и уравненных элементов. После контроля необходимо выполнить обработку полигонометрических ходов с использованием значений уравненных элементов.