, т.е. всегда находятся на действительной оси. Эксцентриситет гиперболы равен 
, а сопряжённой гиперболы - 
, но в в обоих случаях 
.
Эксцентриситет гиперболы (сопряжённой гиперболы опре -деляет форму основного прямоугольника.
Рассмотрим пример. Привести уравнение к каноническому виду и построить линию:
Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:
Разделим полученное равенство на 36:
Получили уравнение гиперболы с центром симметрии, смещён- ным в точку 
. Для данной гиперболы 
, 
. Эксцентриситет гиперболы равен 
. Её асимптоты имеют уравнения 
Построим эту линию
-1
-2
Для эллипса и гиперболы, заданных соответствующими ка- ноническими уравнениями:
можно задать уравнения прямых, которые называются ди -ректрисами, с помощью уравнений 
(для случая эллипса с большей полуосью 
и для случая сопряжённой гиперболы уравнения директрис имеют вид: 
).
В случае эллипса: 
Для гиперболы:
Основное свойство директрис: если 
- рас -стояние до ближайшего фокуса, а - расстояние до соот -ветствующей директрисы 
, то 
.
Таким образом, с помощью основного свойства директрис, эллипс и гиперболу можно определить, как множества точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответс- твующей директрисы - величина постоянная, равная эксцент- риситету 
, причём для эллипса 
, а для гиперболы . В случае 
получаем ещё одну линию - параболу.
4. Парабола. Параболой называется геомнтрическое место точек плоскости, равноудадённых от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.
Введём на плоскости систему координат: ось 
проходит через фокус перпендикулярно директрисе. Ось 
перпендику- лярна оси и проходит на одинаковом расстоянии между от фокуса и директрисы. Пусть расстояние от фокуса до ди –ректрисы равно 
По определению параболы, расстояние от фокуса до точки 
равно длине отрезка 
. Тогда 
. Возведём в квадрат это равен- ство: 
. Таким образом, полу- чаем каноническое уравнение параболы:
(9)
Построим эту линию. Она симметрична относительно оси (так как входит в уравнение в чётной степени).
Точка является вершиной параболы, ось - ось её сим- метрии. Кроме параболы , можем рассмотреть ещё параболы 
и 
, которые вы – глядят, соответственно, следующим образом:
Рассмотрим пример. Привести к каноническому виду уравне- ние следующей линии и построить её:
Преобразуем это уравнение:
Вершина параболы находится в точке 
. 
. Построим эту линию.
.
Оптическое свойство параболы: Если источник света рас -положен в фокусе параболы, то отражённый луч распространя- ется по прямой
Мы рассмотрели основные линии второго порядка.
Рассмотрим теперь пример полного преобразования уравне- ния линии 2 – го порядка с помощью параллельного переноса и поворота системы координат.
Привести к каконическому виду уравнение линии. Выпол- нить построение линии:
Выполним параллельный перенос системы координат по формулам (2): 
. Получим:
С помощью параллельного переноса мы должны избавиться от линейных слагаемых в уравнении, т.е. приравниваем нулю:
Эти равенства должны выполняться для всех 
, т.е. получаем систему:
Тогда: 
или 
Таким образом, перенос системы координат необходимо произвести в точку 
. При этом получим уравнение:
Чтобы избавиться от смешанного произведения 
, выпол- ним поворот системы координат по формулам (4):
Нам необходимо убрать смешанное произведение, поэтому группируем соответствующие коэффициенты и приравниваем их к нулю:
Учитывая тригонометрические формулы, получаем:
.
Перепишем уравнение линии, с учётом того, что смешанного произведения в уравнении не осталось:
или, 
и тогда: 
и, окончательно, 
Получили каноническое уравнение эллипса с полуосями 
. Построим данную линию:
1
1
Рассмотрим ещё примеры: Пример 1. Построить следующую линию: 
Из уравнения видим, что должно быть выполнено: 
. Возведём равенство в квадрат: 
. Тогда 
Получено уравнение окружности с центром в точке 
радиуса 4.
С учётом условия , мы получаем нижнюю часть окруж –ности.
Пример 2. Построить линию: 
. Ограничение: 
Возведём последнее равенство в квадрат 
. Это урав- нение параболы с вершиной в точке 
. 
. Построим линию:
2
-1
Ввиду условия 
, выбираем правую ветку параболы.
§ 7 ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.
Полярная система координат на плоскости определяется за- данием некоторой точки , называемой полюсом; исходящего из этой точки луча 
, называемого полярной осью и мас -штабной единицей 
для измерения длин.
Для произвольной точки плоскости координатами в дан- ной системе координат называют полярный радиус 
, вычисленный в масштабных единицах, и полярный угол 
между осью 
и радиус – вектором 
, т.е. 
,
1 
Чаще всего предполагают, что 
или 
Иногда допускаются отрицательные значения для , но при этом соответствующие значения откладываются на продолжении луча.
Установим связь между полярными координатами точки и её декартовыми координатами. Для этого совместим начало декартовой системы координат с полюсом полярной системы координат, а ось - с полярной осью:
Используя тригонометрические формуды легко получаются формулы перехода от декартовых координат к полярным:
(1)
и формулы обратного перехода от полярных координат к де- картовым:
(2)
Чаще всего эти формулы используются комбминированно.
Окружность 
в полярной системе координат имеет уравнение 
, или 
, тогда дпнная линия имеет вид:
Аналогичным образом, окружность 
имеет в полярных координатах уравнение 
и соответству- ющий рисунок линии выглядит следующим образои:
