Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


√лава 3. Ёлементы аналитической √еометрии 2 страница




ѕусть даны две плоскости

”гол между плоскост€ми равен углу между их нормаль Ц

ными векторами:

(6)

”словие параллельности плоскостей:

(7)

”словие перпендикул€рности плоскостей:

. (8)

≈сли , то уравнени€ задают одну и ту же плоскомть.

ѕример 4. Ќайти угол между плоскост€ми и

. “огда, по формуле (6),

 

І 4. ѕ–яћјя ¬ ѕ–ќ—“–јЌ—“¬≈

 

Ћюбую пр€мую в пространстве можно задать пересечением двух не параллельных плоскостей, т.е. система двух уравне -ний плоскостей представл€ет собой общиеуравнени€ пр€мой, котора€ получаетс€ при их пересечении:

(1)

«десь и - не

коллинеарные нормальнве векторы данных плоскостей, т.е. их координаты не пропорциональны.

»наче уравнение пр€мой можно задать следующим образом:

 

- фиксированна€ точка данной пр€мой, - текуща€ точка пр€мой, - направл€€- ющий вектор пр€мой. “огда уравнение пр€мой получаетс€ из услови€ коллинеарности (т.е. пропорциональности) векторов и , т.е. по формуле:

(2)

”равнени€ (2) называютс€ каноническими уравнени€ми пр€мой.

¬ частности, если на пр€мой заданы две точки и , то в качестве направл€ющего вектора можем вз€ть вектор и уравнение пр€мой в этом случае принимает вид:

(3)

Ќапример: Ќаписать уравнение пр€мой, проход€щей через точки .

ѕо формуле (3), получаем:

.

≈сли в равенстве (2) введЄм параметр

,

то получим параметрическое уравнение данной пр€мой:

(4)

ѕереход от общих уравнений к каноническим выполн€етс€ следующим образом: из рисунка

 

 

 

 

 

видим, что направл€ющий вектор пр€мой (как вектор, лежащий в соответствующих плоскост€х) можно найти через векторное произведение векторов, т.е., если пр€ма€ задана общими уравнени€ми:

(5) и , , то

.

Ќо дл€ того, чтобы написать каноническое уравнение пр€ -мой, необходимо знать какую Ц нибудь точку на данной пр€ -мой. „тобы найти какую Ц нибудь точку, в системе (5) зафиксируем одну координату, например, положим , а остальные две найдЄм как решение системы.

–ассмотрим пример:

Ќаписать канонические уравнени€ пр€мой:


¬ данном случае, . “огда

“еперь найдЄм какую Ц нибудь точку на этой пр€мой. ¬ данном примере удобно положить . ѕолучаем систему:

—ложим эти уравнени€: тогда и точка лежит на пр€мой, следовательно, еЄ кано- нические уравнени€ можно записать в виде:

 

”гол между пр€мыми в пространстве равен углу между их направл€ющими векторами, т.е. дл€ пр€мых с направЦ л€ющими векторами :

≈сли пр€мые параллельны, то и получаем условие параллельности пр€мых: .

≈сли пр€мые перпендикул€рны, то и из услови€ ортогональности векторов получаем условие перпендикул€р -ности пр€мых:

ѕример. ƒоказать перпендикул€рность пр€мых:

и

Ќаправл€ющий вектор первой пр€мой: ; на Цправл€ющий вектор второй пр€мой: , где

. “огда

т.е. . ѕроверим условие перпендикул€рности плос- костей: . Ќаправл€ющие векторы ортогональны, следовательно, пр€мые перпендикул€рны.

 

І 5. ¬«ј»ћЌќ≈ –ј—ѕќЋќ∆≈Ќ»≈ ѕ–яћќ… »

ѕЋќ— ќ—“» ¬ ѕ–ќ—“–јЌ—“¬≈

 

ѕр€ма€ и плоскость в пространстве могут быть либо парал- лельными, либо пересекатьс€.

ѕусть заданы уравнени€ плоскости и пр€мой . Ќормальный вектор плоскости , направл€ющий вектор пр€мой: . ≈сли пр€ма€ параллельна плоскости, то еЄ на- правл€ющий вектор ортогонален нормальному вектору плос - кости:

 

 

 

т.е. и, из услови€ ортогональности векторов:

. (1)

≈сли пр€ма€ перпендикул€рна плоскости, то нормальный вектор плоскости коллинеарен направл€ющему вектору пр€мой:

 

 

 

 

 

 

“огда условие перпендикул€рности пр€мой и плоскости: , или . (2)

”гол между пр€мой и плоскостью можно определить следу- ющим образом:

 

 

 

»з чертежа видно, что .

Ќо . “огда

(3) - угол между пр€мой и плоскостью в пространстве.

–ассмотрим примеры:

1. Ќайти угол между плоскостью, проход€щей через точки:

и пр€мой

.

Ќормальный вектор плоскости ищетс€, как векторное произведение векторов:

Ќаправл€ющий вектор пр€мой . “огда, по формуле (3),

“огда .

2. ѕри каком значении пр€ма€

параллельна плоскости ?

Ќаправл€ющий вектор пр€мой , нормальный вектор плоскости . “огда, по условию (1), пр€- ма€ параллельна плоскости, если

“огда

—ледующа€ задача, св€занна€ с взаимным расположением пр€мой и плоскости в пространстве - это задача: найти точку пересечени€ пр€мой и плоскости

„тобы решить эту задачу, следует записать уравнение пр€- тмой в параметрической форме, т.е.

и, подставив значени€ переменных в уравнение плоскости , найти значение параметра в точке пересечени€. ѕосле этого можно найти значени€ координат точки пересечени€.

ѕример 3. Ќайти точку пересечени€ плоскости

и пр€мой .

«апишем параметрические уравнени€ пр€мой:

(4)

и подставим данные значени€ в уравнени€ плоскости. ѕолучим

“огда точка пересечени€ имеет координаты:

т.е.

–ассто€ние от точки до пр€мой. „тобы найти рассто€ние от точки до пр€мой , следует написать уравнение плоскости, проход€щей через заданную точку перпендикул€рно данной пр€мой; найти точку пересечени€ полученной плоскости и данной пр€мой; и после этого найти рассто€ние от этой точки пересечени€ до точки .

ѕример 4. Ќайти рассто€ние от точки до пр€мой .

 

 

 

Ќормальный вектор плоскости, перпендикул€рной пр€мой , совпадает с направл€ющим вектором пр€мой, т.е.

,

“огда уравнение плоскости имеет вид:

или .

„тобы найти точку пересечени€ пр€мой и плоскости напишем пераметрическое уравнение пр€мой

.

ѕодставив значени€ неизвестных в уравнение плоскости , найдЄм значение параметра в точке пересечени€:

“огда точка имеет координаты:

т.е. .

–ассто€ние от точки до пр€мой найдЄм как длину отрезка .

 

ƒл€ определени€ рассто€ни€ от точки до пр€мой можно выбрать и другой способ. –ассмотрим рисунок:

 

 

 

ѕлощадь этого параллелограмма равна , или . ѕриравн€в эти выражени€, получим формулу дл€ рассто€ни€ от точки до пр€мой:

. (5)

–ешим пример (4) этим способом:

“огда, по формуле (5),

¬торым способом получили тот же результат.

 

—ледующие две задачи: написать уравнение плоскости, проход€щей через две параллельные пр€мые и плоскости, проход€щей через две пересекающиес€ пр€мые, рассмотрим на примерах.

 

ѕример 5. ѕроверить параллельность пр€мых и написать уравнение плоскости, проход€щей через эти пр€мые:

Ќаправл€ющий вектор первой пр€мой: ; на- правл€ющий вектор второй пр€мой - . Ёти векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональ- ны, следовательно . „ерез две параллельные пр€мые можно провести единственную плоскость.

 

 

 

 оординаты точек получаем из уравнений соответствующих пр€мых. Ќормальный вектор плоскости равен , где .

“огда

¬ качестве фиксированной точки плоскости можем вз€ть, например, точку , лежащую на первой пр€мой. ¬ резуль -тате получаем следующее уравнение плоскости:

,

»ли

ѕример 6. ѕроверить, что пр€мые пересекаютс€ и напи -сать уравнение плоскости, проход€щей через эти пр€мые:

ƒл€ данных пр€мых

 

 

P

 

“очки лежащие на этих пр€мых:

,

тогда .

≈сли пр€мые лежат в одной плоскости, то векторы компланарны, и их смешанное произведение равно нулю, т.е. .

¬ нашем случае,

—ледовательно, пр€мые лежат в одной плоскости. Ќормаль -ный вектор этой плоскости:

“огда уравнение плоскости имеет вид:

,

или

 

–ассто€ние между скрещивающимис€ пр€мыми:

, с направл€ющими векторами , , проход€щими через точки и можно найти как высоту параллелепипеда, построенного на векторах .

 

 

 

 

 

 

ќбъЄм этого параллелепипеда равен: . — другой стороны этот же объЄм равен: .

“огда

(6)

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-11-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 341 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕольшинство людей упускают по€вившуюс€ возможность, потому что она бывает одета в комбинезон и с виду напоминает работу © “омас Ёдисон
==> читать все изречени€...

1700 - | 1465 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.088 с.