Пусть даны две плоскости
Угол между плоскостями равен углу между их нормаль –
ными векторами:
(6)
Условие параллельности плоскостей:
(7)
Условие перпендикулярности плоскостей:
. (8)
Если 
, то уравнения задают одну и ту же плоскомть.
Пример 4. Найти угол между плоскостями 
и 
. Тогда, по формуле (6),
§ 4. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Любую прямую в пространстве можно задать пересечением двух не параллельных плоскостей, т.е. система двух уравне -ний плоскостей представляет собой общиеуравнения прямой, которая получается при их пересечении:
(1)
Здесь 
и 
- не
коллинеарные нормальнве векторы данных плоскостей, т.е. их координаты не пропорциональны.
Иначе уравнение прямой можно задать следующим образом:
- фиксированная точка данной прямой, 
- текущая точка прямой, - направляя- ющий вектор прямой. Тогда уравнение прямой получается из условия коллинеарности (т.е. пропорциональности) векторов 
и 
, т.е. по формуле:
(2)
Уравнения (2) называются каноническими уравнениями прямой.
В частности, если на прямой заданы две точки 
и 
, то в качестве направляющего вектора можем взять вектор 
и уравнение прямой в этом случае принимает вид:
(3)
Например: Написать уравнение прямой, проходящей через точки 
.
По формуле (3), получаем:
.
Если в равенстве (2) введём параметр
,
то получим параметрическое уравнение данной прямой:
(4)
Переход от общих уравнений к каноническим выполняется следующим образом: из рисунка
видим, что направляющий вектор прямой 
(как вектор, лежащий в соответствующих плоскостях) можно найти через векторное произведение векторов, т.е., если прямая задана общими уравнениями:
(5) и , , то
.
Но для того, чтобы написать каноническое уравнение пря -мой, необходимо знать какую – нибудь точку на данной пря -мой. Чтобы найти какую – нибудь точку, в системе (5) зафиксируем одну координату, например, положим 
, а остальные две найдём как решение системы.
Рассмотрим пример:
Написать канонические уравнения прямой:
В данном случае, 
. Тогда
Теперь найдём какую – нибудь точку на этой прямой. В данном примере удобно положить 
. Получаем систему:
Сложим эти уравнения: 
тогда 
и точка 
лежит на прямой, следовательно, её кано- нические уравнения можно записать в виде:
Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами, т.е. для прямых 
с направ– ляющими векторами 
:
Если прямые параллельны, то 
и получаем условие параллельности прямых: 
.
Если прямые перпендикулярны, то 
и из условия ортогональности векторов получаем условие перпендикуляр -ности прямых: 
Пример. Доказать перпендикулярность прямых:
и 
Направляющий вектор первой прямой: 
; на –правляющий вектор второй прямой: 
, где
. Тогда
т.е. 
. Проверим условие перпендикулярности плос- костей: 
. Направляющие векторы ортогональны, следовательно, прямые перпендикулярны.
§ 5. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И
ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямая и плоскость в пространстве могут быть либо парал- лельными, либо пересекаться.
Пусть заданы уравнения плоскости 
и прямой 
. Нормальный вектор плоскости 
, направляющий вектор прямой: 
. Если прямая параллельна плоскости, то её на- правляющий вектор ортогонален нормальному вектору плос - кости:
т.е. 
и, из условия ортогональности векторов:
. (1)
Если прямая перпендикулярна плоскости, то нормальный вектор плоскости коллинеарен направляющему вектору прямой:
Тогда условие перпендикулярности прямой и плоскости: 
, или 
. (2)
Угол между прямой и плоскостью можно определить следу- ющим образом:
Из чертежа видно, что 
. 
Но 
. Тогда
(3) - угол между прямой и плоскостью в пространстве.
Рассмотрим примеры:
1. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки:
и прямой
.
Нормальный вектор плоскости 
ищется, как векторное произведение векторов:
Направляющий вектор прямой 
. Тогда, по формуле (3),
Тогда 
.
2. При каком значении 
прямая 
параллельна плоскости 
?
Направляющий вектор прямой 
, нормальный вектор плоскости 
. Тогда, по условию (1), пря- мая параллельна плоскости, если 
Тогда 
Следующая задача, связанная с взаимным расположением прямой и плоскости в пространстве - это задача: найти точку пересечения прямой и плоскости
Чтобы решить эту задачу, следует записать уравнение пря- тмой в параметрической форме, т.е.
и, подставив значения переменных в уравнение плоскости , найти значение параметра 
в точке пересечения. После этого можно найти значения координат точки пересечения.
Пример 3. Найти точку пересечения плоскости
и прямой 
.
Запишем параметрические уравнения прямой:
(4)
и подставим данные значения в уравнения плоскости. Получим 
Тогда точка пересечения имеет координаты:
т.е. 
Расстояние от точки до прямой. Чтобы найти расстояние от точки до прямой , следует написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данной прямой; найти точку пересечения полученной плоскости и данной прямой; и после этого найти расстояние от этой точки пересечения до точки .
Пример 4. Найти расстояние от точки 
до прямой 
.
Нормальный вектор плоскости, перпендикулярной прямой , совпадает с направляющим вектором прямой, т.е.
,
Тогда уравнение плоскости имеет вид:
или 
.
Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости 
напишем пераметрическое уравнение прямой 
.
Подставив значения неизвестных в уравнение плоскости , найдём значение параметра в точке пересечения:
Тогда точка имеет координаты:
т.е. 
.
Расстояние от точки до прямой найдём как длину отрезка 
.
Для определения расстояния от точки до прямой можно выбрать и другой способ. Рассмотрим рисунок:
Площадь этого параллелограмма равна 
, или 
. Приравняв эти выражения, получим формулу для расстояния от точки до прямой:
. (5)
Решим пример (4) этим способом:
Тогда, по формуле (5), 
Вторым способом получили тот же результат.
Следующие две задачи: написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, рассмотрим на примерах.
Пример 5. Проверить параллельность прямых и написать уравнение плоскости, проходящей через эти прямые:
Направляющий вектор первой прямой: 
; на- правляющий вектор второй прямой - 
. Эти векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональ- ны, следовательно 
. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.
Координаты точек 
получаем из уравнений соответствующих прямых. Нормальный вектор плоскости равен 
, где 
.
Тогда
В качестве фиксированной точки плоскости можем взять, например, точку , лежащую на первой прямой. В резуль -тате получаем следующее уравнение плоскости:
,
Или 
Пример 6. Проверить, что прямые пересекаются и напи -сать уравнение плоскости, проходящей через эти прямые:
Для данных прямых 
P
Точки лежащие на этих прямых:
,
тогда 
.
Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы 
компланарны, и их смешанное произведение равно нулю, т.е. 
.
В нашем случае,
Следовательно, прямые лежат в одной плоскости. Нормаль -ный вектор этой плоскости:
Тогда уравнение плоскости имеет вид:
,
или 
Расстояние между скрещивающимися прямыми:
, 
с направляющими векторами 
, 
, проходящими через точки и можно найти как высоту параллелепипеда, построенного на векторах 
.
Объём этого параллелепипеда равен: 
. С другой стороны этот же объём равен: 
.
Тогда
(6)
