§ 1. ВЕКТОР. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С
ВЕКТОРАМИ.
Различают понятия величин, которые характеризуются од -ним числом - скалярные величины (например: масса, объём, длина, площадь и т.д.) и величин, для которых имеет значе -ние не только их численное значение, но и направление их действия - векторных величин (например: сила, скорость, ус - корение и т.д.).
Вектором называется направленный отрезок 
, где 
- начало вектора, 
- конец вектора.
В физике важное значение имеет точка приложения вектора, т.е. начальная точка . Векторы в математике чаще всего не связывают с точкой приложения, поэтому часто геометрический вектор обозначается 
. Чтобы объяснить это, введём сначала несколько понятий. Длина вектора обозначается 
или 
. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Его длина равна нулю. Считается, что его направление совпадает с направлением любого вектора, и он обозначается 
.
Векторы, лежащие на одной прямой, или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Векторы, лежащие в одной плоскости, или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
Векторы называются равными, если они коллинеарны, име- ют одинаковую длину и одинаково направлены.
Из этого определения следует, что векторы равны, если их можно совместить с помощью параллельного переноса. Равен-ство векторов не зависит от их начальных точек (точек прило- жения); таким образом, начальную точку любого вектора с помощью параллельного переноса можно совместить с любой точкой плоскости или пространства. В этом смысле геометри- ческие векторы называются свободными.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
1. Сложение векторов. Суммой двух векторов 
и 
называется вектор 
, идущий из начала вектора в конец вектора .
Это определение называется правилом треугольника сложе - ния векторов. Другое определение суммы векторов называется правилом параллелограмма: вектор суммы векторов направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , т.е
2. Умножение вектора на число. При умножении вектора на число 
получаем вектор 
, коллинеарный данному вектору, длина которого изменяется в 
раз, причём на- правление вектора сохраняется, если 
и меняется на противоположное, если 
.
Из сказанного выше следует ещё одно определение кол – линеарности векторов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Вектора 
называются коллинеар- ными, если существует некоторое действительное число , такое, что 
.
Операции сложения и умножения вектора на число обладают следующими свойствами:
1. 
(коммутативность сложения);
2. 
(ассоциативность сложения);
3. 
4. 
5. 
6. 
.
7. 
.
Вычитание векторов на картинке выглядит следующим обра- зом:
Вектор разности направлен в сторону вектора, из которого вычитается второй вектор.
Дальнейшее изучение векторов связано с понятием систе- мы координат
§ 2 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПРЯМОЙ, НА ПЛОСКОС-
ТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
1. Координата на прямой вводится следующим образом: на прямой стрелкой указывается направление положительного изменения, определяется начало отсчёта - точка О и опре –деляется масштабная единица
1
Координатой произвольной точки называют длину отрезка 
, вычисленную в масштабных единицах (в данном случае, координата точки равна 
), причём, если точка находится правее точки , то знак координаты по- ложительный, а если левее, то отрицательный. Если даны две точки на прямой 
, то расстояние между ни -ми ищется по формуле:
. (1)
2. Декартова (прямоугольная) система координат на пло-скости задаётся двумя взаимно перпендикулярными осями. Точка их пересечения - это начало координат, на каждой оси вводится масштабная единица.
 |
1
О 1 
Ось 
называется осью абсцисс, ось 
- осью ординат.
Координатами произвольной точки в данной системе ко- ординат называются числа 
, вычис -ленные в масштабных единицах, причём эти координаты будут положительными, если точка расположена правее (выше) соответствующей координатной оси. В данной системе коор –динат: 
.
Расстояние между двумя точками 
и 
на плоскости вычисляется по формуле:
. (2)
3. В пространстве декартова (прямоугольная) система ко -ординат определяется осями, которые лежат в пересечениях трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в одной точке. Сами эти плоскости называются координатными плоскостями 
, соответственно. На каждой оси вводится масштабная единица
1
Ось 
называется осью аппликат. Точка в пространстве имеет три координаты 
. Расстояние между двумя точками 
и 
в пространстве опре- деляется по формуле, которая аналогична соответствующей формуле для плоскости:
(3)
4. Чтобы установить связь между векторами и системой ко-
ординат, требуется ввести понятие проекции вектора на ось.
Пусть дана произвольная ось 
и некоторый вектор :
Величина направленного отрезка с соответствующим знаком 
оси называется проекцией вектора на ось и обозначается 
. Из рисунка видно, что:
.
Если угол острый, то проекция положительна, если тупой, то проекция отрицательна. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны.
Проекции векторов имеют два основных свойства:
1. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций. 
Из рисунка видим, что
.
2. При умножении вектора на число его проекция умно -
жается на то же число:
.
Рассмотрим произвольный вектор и его проекции на оси координат. Вектор однозначно определяется своими проекция -ми на оси координат. (Равные векторы можно совместить параллельным переносом и они имеют одинаковые проекции, и наоборот, векторы с одинаковыми проекциями равны.)
Считаем, что вектор 
имеет проекции на оси координат равные, соответственно, 
. Причём, если вектор , где 
, то координа- ты вектора равны, соответственно,
Таким образом, чтобы найти координаты вектора (т.е. его проекции на оси координат) необходимо из координат - конечной точки вектора вычесть соответствующие коорди- наты точки - начальной точки вектора.
Вектор 
называется радиус – вектором точки . Из треугольника 
:
.
Тогда из треугольника 
имеем:
В частности, для вектора 
получаем: 
, т.е. длина вектора равна расстоянию между точками A и В.
Если 
- угол между вектором и осью , 
- угол между вектором и осью и 
- угол между вектором и осью , то 
, 
, 
, то получаем понятия, так называемых направляющих косинусов вектора:
; 
;
.
Основное свойство направляющих косинусов, которое легко проверяется непосредственно:
(!)
Рассмотрим пример: найти вектор 
, длина которого 
, который образует равные острые углы с осями координат.
По условию: 
, поэтому, по свойству (!),
. (знак «+», так как углы острые), тогда 
.
Таким образом, вектор имеет координаты: 
Рассмотрим задачу о делении отрезка в данном отноше -нии. Пусть даны две точки 
. Требуется найти координаты точки 
, которая делит отрезок 
в отношении , т.е отношение длин отрезков
Рассмотрим случай проекций на ось . (Для остальных осей формулы получаются аналогичным образом).
Так как параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то
Тогда 
Таким образом,
, аналогично, 
; 
.
В частности, если 
, т.е. отрезок делится пополам, получаем координаты середины отрезка:
; 
; 
. (+) Таким образом, координаты середины отрезка равны полу -сумме координат концов отрезка.
Пример. Найти координаты центра масс треугольника с 
вершинами: 
О 
Центр масс треугольника всегда находится в точке пересече -ния медиан, а медиана треугольника делит сторону пополам, тогда, по формулам (+), точка имеет координаты
, или 
.
Другое свойство медиан треугольника: медианы в точке пере- сечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины треу –гольника, поэтому точка 
- центр масс (точка пере -сечения медиан) делит отрезок 
в отношении:
.
Тогда 
Таким образом 
.
Вернёмся снова к линейным операциям над векторами.
Пусть даны два вектора 
. Тогда, учитывая свойства проекции вектора на ось, получаем следующие правила:
1) 
2) 
3) 
Из последней формулы, учитывая определение коллинеарнос- ти векторов, получаем следующее условие коллинеарности:
.
Рассмотрим пример: пусть даны два вектора
.
Проверить коллинеарность векторов 
.
Найдём координаты векторов:
Проверим выполнение условия коллинеарности:
Координаты векторов пропорциональны, следовательно векторы коллинеарны, т.е. 
.
В заключение, придадим другой смысл проекциям вектора на координатные оси. С этой целью в заданной системе координат определим тройку векторов 
следующим образом:
1) векторы лежат на осях 
, соответст- вено, т.е. взаимно перпендикулярны. Их направления совпада- ют с положительными направлениями соответствующих коор -динатных осей;
2) 
Единичные взаимно перпендикулярные векторы по другому называются ортами. В системе координат 
эти векторы имеют следующие координаты:
Тогда любой вектор 
можно записать следу- ющим образом: 
, т.е. любой вектор прост –ранства можно представить в виде линейной комбинации век- торов . Таким образом, векторы представляет собой естественный базис прямоугольной системы координат в пространстве.
ЗАМЕЧАНИЕ. Любые три некомпланарных вектора прост –ранства образуют его базис, т.е. любой другой вектор прост- ранства можно представить в виде линейной комбинации этих векторов.
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Нелинейными операциями являются операции умножения векторов.
1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.
(1)
Так как 
, 
, то получаем:
= 
(2)
Отсюда получаем формулы для вычисления проекций:
; 
. (3)
Также, учитывая формулу (1),
. (4)
Скалярное произведение векторов имеет простой механи – ческий смысл: Скалярное произведение 
равно работе силы по перемещению материальной точки из начала в конец вектора .
Легко доказать следующие свойства скалярного произ –ведения:
1. = 
(коммутативность);
2. 
= 
3. 
(дистрибутивность);
4. 
тогда 
;
5. Условие ортогональности векторов:
,
так как 
.
Эти свойства позволяют выполнить следующие задания:
1). Пусть 
; угол между этими векторами 
. Найти длину вектора 
.
По свойству 4,
2). Пусть 
; угол между этими векторами 
. Найти 
.
По формуле (3), 
. В данных условиях,
Тогда 
.
Пусть теперь векторы заданы своими координатами:
в базисе . При вы- числении скалярного произведения базисных векторов получим: 
, по свойству 4. Аналогично 
Так как векторы ортогональны, т.е. попарно перпендику –лярны, то, по свойству 5, 
Тогда 
Таким образом, скалярное произведение векторов, заданных координатами, равно сумме произведений соответствующих координат:
(5)
Тогда векторы ортогональны если
Угол между векторами и можно найти по формуле:
= 
. (6)
Рассмотрим ещё несколько примеров:
1. Даны векторы 
. При
каком значении 
эти векторы перпендикулярны?
. 
, так как векторы перпендикулярны. Тогда 
или 
2. Треугольник задан своими вершинами: А(2, -1, 3),
В(1, 1, 1), С(0, 0, 5). Найти углы треугольника АВС.
, тогда по формуле (6),
Следовательно 
.
тогда по той же формуле,
и угол 
. Тогда 
.
3. Проверить, что четырёхугольник с вершинами: 
является квадратом.
Следовательно, противоположные стороны параллельны и оп- ределяются одинаковыми векторами. Тогда данный четы- рёхугольник является параллелограммом. Найдём длины смеж- ных сторон: 
. Т.е. все стороны равны. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом. Чтобы доказать, что ромб является квадратом, достаточно доказать перпендикулярность хотя бы двух смежных сторон. Найдём скалярное произведение:
Выполнено условие ортогональности векторов 
и 
, сле- довательно 
, и тогда рассматриваемый четы- рёхугольник является квадратом.
2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Векторным произведением вектора 
на вектор 
называ- ется вектор, обозначаемый 
, или 
, который опреде- ляется тремя условиями:
1) Вектор 
перпендикулярен векторам и , т.е. 
:
2) Длина вектора - 
:
3) Векторы 
образуют «правую тройку». 
Векторы образуют правую
тройку, если они имеют общее на-
чало и из конца вектора 
крат -
чайший поворот вектора к век –
тору виден против часовой
стрелки.
Механический смысл векторного произведения: вектор- ное произведение 
равно моменту силы , при -ложенной к концу вектора относительно начала век -тора .
Свойства векторного произведения.
1. 
;
Если поменяем местами векторы 
, то тройка
векторов поменяет ориентацию (станет левой)
и вектор сменит направление на противополож-
ное.
2. Если векторы имеют одно и то же начало, то
модуль (длина) векторного произведения численно ра –
вен площади параллелограмма, построенного на век –
торах 
(произведение длин сторон на синус угла
между ними). Таким образом:
площадь параллелограмма 
, а
площадь треугольника 
3. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно 0, т.е. 
. Это ещё одно ус- ловие коллинеарности векторов. (если векторы колли –неарны, т.е. параллельны, то 
и, по условию 1) определения, вектор имеет нулевую длину).
В частности, 
для любого вектора.
4. 
(Постоянный множитель можно выносить за скобку).
5. 
. (Можно раскрывать скобки.)
Рассмотрим пример: найти площадь параллелограмма, по -строенного на векторах , которые заданы следующим образом: 
, если 
и угол между векторами 
равен 
.
По свойству 2, . Найдём:
. Тогда
При решении примера мы использовали свойства вектор- ного произведения. По свойству 3, 
, по свой- ству 1, 
.
Пусть теперь векторы заданы своими координатами:
(7)
где базисные векторы 
имеют единичную длину, вза -имно перпендикулярны и образуют правую тройку. Тогда для них выполняются следующие правила векторного умножения:
О
Найдём векторное произведение векторов и , используя эти правила, умножив векторы, заданные формулой (7), как скобку на скобку.
Но последнее выражение задаёт разложение по первой строке следующего определителя, т.е.
. (8)
Пример. Найти площадь треугольника с вершинами 
(1, 1, 1),
(2, 3, 4) и (4, 3, 2) и его высоту, опущенную из вершины .
.
Найдём векторное произведение:
Тогда
Высоту треугольника можем найти следующим образом:
3. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Для трёх векторов можно ввести смешанное произведение, при котором два вектора перемножаются векторно и получен- ный в результате вектор скалярно умножается на третий век- тор, в результате чего получается число.
Смешанное произведение векторов обозначается:
Любая циклическая перестановка не меняет смешанное произ- ведение: 
. Остальные перестановки меняют знак произведения на противоположный.
ТЕОРЕМА. Смешанное произведение векторов равно
где 
- объём параллелепипеда, построенного на векторах .
В самом деле, рассмотрим рисунок
Тогда, если учесть, что 
- площадь параллело- грамма, построенного на векторах 
, а - высота, построенного параллелепипеда, то
Если векторы образуют левую тройку, то вектор направлен в противоположную сторону, угол тупой и 
, и 
. Если векторы компла -нарны, то 
и смешанное произведение равно 0.
Условие компланарности векторов:
(9)
Если векторы не компланарны, т.е. 
, то они образуют базис, т.е. любой вектор пространства можно представить в виде их линейной комбинации.
Если векторы заданы своими координатами: 
, то, как в случае скалярного и векторного произведения, можно показать, что:
. (10)
Учитывая теорему, можно найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , по формуле:
,
а объём треугольной пирамиды, построенной на тех же векторах:
(11)
высоту параллелепипеда или пирамиды можно найти по фор- муле:
. (12)
Рассмотрим примеры:
1. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами
в точках 
и найти её высоту, опущенную на грань 
.
Найдём координаты трёх векторов, выходящих из одной точки, на которых строится пирамида: 
.
Тогда:
Таким образом, по формуле (11), объём пирамиды равен:
Чтобы найти высоту пирамиды, найдём векторное произве- дение:
Отсюда 
.
Тогда, по формуле (12)
2. Проверить, что точки
лежат в одной плоскости.
Если данные точки лежат в одной плоскости,
С
то векторы 
компланарны. Найдём координаты этих векторов:
Векторы компланарны, если их смешанное произведение рав- но нулю, т.е. должно быть выполнено равенство:
.
Найдём это смешанное произведение по формуле (10):
Смешанное произведение равно нулю. Следовательно, точки лежат в одной плоскости.
3. Поверить, что векторы образуют базис и найти разложение вектора 
в этом базисе:
Если векторы образуют базис, то их смешанное произведе- ние 
. В нашем случае:
следовательно, векторы образуют базис
Тогда 
представляет собой разложение вектора в этом базисе. Найдём коэффициенты этого разло- жжения, для чего запишем соответствующее векторное равен -ство:
.
Учитывая правила действий с векторами, получим систему:
Решим данную систему линейных уравнений методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и получим нули ниже главной диагонали.
Умножим первую строку на (-2) и прибавим к второй строке и просто прибавим её к третьей строке. Получим:
Умножим третью строку на (3) и прибавим к второй, после че- го разделим вторую строку на (3), а третью на (2) и поменя -ем их местами:
.
Получили систему:
Таким образом: 
Тогда
§ 4 ПОНЯТИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
Изучая геометрические векторы, мы установили взаимно од- нозначное соответствие между направленными отрезками и упо- рядоченными наборами чисел (координатами векторов). При этом сложение векторов и умножение их на число производит- ся покоординатно. Обобщим вышесказанное следующим обра – зом: упорядоченная совокупность 
чисел
называется - мерным вектором, а числа 
- его координатами. Набор, состоящий из нулей, называется ну- левым вектором, т.е.
