Глава 1. Элементы линейной алгебры

.

Это свойство также легко проверяется непосредственно, вы- числением определителя.

Рассмотрим пример вычисления определителя 4 – го поряд- ка двумя способами: 1) понижением порядка с помощью разло- жения по элементам строки (разложением Лапласа) и 2) пони- жением порядка с помощью элементарных преобразований (т.е., используя основные свойства определителей).

Пример. Вычислить определитель:

.

Первый способ: разложим определитель по элементам 1 – й строки

+ +

+ +4 =

= .

Вычислим каждый из полученных определителей третьего порядка по отдельности также используя разложение по эле- ментам первой строки, хотя можно было бы воспользоваться и «правилом треугольников».

Тогда

Второй способ: вычислим тот же определитель с помощью элементарных преобразований.

=

Получим нули в первом столбце, для чего умножим третью строку на (2) и прибавим к первой строке и ту же третью строку прибавим к второй и четвёртой строке. По свойству 8, значение определителя при этом не изменится. После получе-ния нулей в первом столбце, разложив полученный определи -тель по элементам первого столбца, получим

получим ноль в последней строке, умножив второй столбец на (- 4) и прибавив его к первому столбцу

= - .

Как видим, вычисление определителя вторым способом бо -лее экономично, т.е. быстрее приводит к результату. Кроме то- го, вычисление определителей порядка большего чем 4 пер -вым способом приведёт к очень громоздким вычислениям, по- этому при вычислении определителей высокого порядка целе- сообразно пользоваться вторым способом.

§ 3 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

В § 1 было введено понятие обратной матрицы, как матри- цы, удовлетворяющей условию . Теперь же, зная свойства определителей, можем доказать теорему о виде обратной матрицы, при условии, что она невырожденная т.е. её определитель .

ТЕОРЕМА. Для любой невырожденной квадратной матрицы обратную матрицу можно найти по формуле:

,

где - алгебраические дополнения соот- ветствующих элементов матрицы , причём алгебраические дополнения элементов строк матрицы записаны столбцами в матрице .

Проверим, что данная матрица в самом деле является обратной к матрице , использовав определение обратной матрицы. В самом деле,

Используя правило умножения матриц, а также свойства 9 и 11 определителей, получим:

.

При умножении матриц в обратном порядке также получим единичную матрицу (можно проверить непосредственно), т.е. матрица в самом деле является обратной к матрице .

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице

.

Сначала найдём её определитель:

Следовательно матрица невырожденная и для неё можно найти обратную матрицу. Для этого найдём алгебраические дополнения всех элементов матрицы.

Тогда

.

Сделаем проверку

Т.о., в самом деле, получили обратную матрицу.

Отдельно рассмотрим случай нахождения обратной матрицы второго порядка. Пусть дана матрица

Тогда для данной матрицы

и обратная матрица имеет вид:

, т.е. элементы главной диагонали меняются местами, а эле -менты вспомогательной диагонали меняют знаки.

Пример. Решить матричное уравнение:

если

РЕШЕНИЕ: Из этого равенства имеем:

Для матрицы : и для матрицы и ;

Тогда

Приведём ещё одно определение, связанное с понятиями матрицы и определителя.

Рангом матрицы называется максимальный поря- док отличного от нуля минора данной матрицы. В этом опре- делении минором порядка называется определитель, сос -тавленный из элементов матрицы , расположенных на пере- сечении выбранных строк и выбранных строк.

Например, найдём ранг матрицы

.

Миноры

порядков 1, 2, 3, соответственно, расположенные в левом верхнем углу матрицы , называются главными.

Главный минор 2 – го порядка ,

Следовательно, . Вычислим миноры третьего порядка:

Поэтому

§ 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Системой линейных алгебраических уравнений с урав –нений с неизвестными называется система вида:

(1)

Уравнения данной системы являются линейными, так как все неизвестные величины входят в уравнения толь- ко в первой степени, и алгебраическими, так как получены с применением конечного числа алгебраических операций сло- жения и умножения на число.

Решением системы (1) называется некоторый набор чисел , при подстановке которых вместо неизвестных во все уравнения системы (1) получаем тож- дественные равенства.

Это определение позволяет разделить системы вида (1) на два класса: системы, имеющие хотя бы одно решение, назы -ваются совместными, а системы, не имеющие ни одного ре -шения, называются несовместными. Совместные системы, име- ющие единственное решение, называются определёнными, а имеющие более одного решения (на самом деле, имеющие бесконечное число решений), называются неопределёнными.

Кроме того среди систем вида (1) выделяют так называ –емые однородные, т.е. системы, в которых все правые части равны нулю: .

Рассмотрим теперь методы, позволяющие находить реше -ния системы (1), если они существуют.

Сначала рассмотрим системы, у которых число уравнений равно числу неизвестных, т.е. системы вида:

(2)

1. МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ.

Обозначим через:

,

матрицу коэффициентов, столбец неизвестных и столбец пра -вых частей, соответственно. Тогда систему (2), учитывая пра -вила действия с матрицами, можем записать в более компакт- ной форме:

. (3)

Если определитель матрицы не равен нулю, т.е. матри -ца невырожденная, то данная матрица имеет обратную мат- рицу . Умножим обе части равенства (3) на :

,

а так как (по определению обратной матрицы), а , то

. (4)

Эта формула даёт метод решения системы (2) средствами матричного исчисления, или просто матричный способ реше- ния системы (2).

Рассмотрим пример решения системы матричным способом.

Пусть дана система линейных уравнений:

Для данной системы

Найдём обратную матрицу по известной формуле. Сначала найдём

После этого вычислим алгебраические дополнения всех эле- ментов матрицы .

Следовательно,

.

Тогда, по формуле (4), решение системы имеет вид:

=

.

Таким образом Сделаем про -верку, т.е. подставим полученное решение в систему:

При подстановке получили тождественные равенства, следова- тельно, в самом деле получили решение системы.

2, ФОРМУЛЫ КРАМЕРА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Ограничимся случаем системы трёх уравнений с тремя не -известными. В случае систем более высокого порядка пользо- ваться этими формулами очень трудоёмко.

Пусть дана система

главный определитель которой

.

Умножим уравнения этой системы на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца основной матрицы данной системы, т.е.

и сложим полученные уравнения. Получим

По свойству 9 определителей, первая скобка равна , по свойству 11, вторая и третья скобки равны нулю, а, по свойству 10, правая часть равна определителю матрицы, в ко– торой первый столбец заменён столбцом правых частей систе- мы, т.е.

.

Получаем . Аналогично, умножая уравнения систе -мы на алгебраические дополнения второго и третьего столбца, соответственно, получим уравнения: и , где и .

Отсюда получаются формулы Крамера:

. (5)

Таким образом, данный способ решения системы 3 – го сводится к вычислению четырёх определителей. В принципе этот метод можно применять и для произвольных систем с одинаковым числом уравнений и неизвестных с невырожден- ными матрицами коэффициентов, но вычисление определи -телей более высокого порядка, чем три, довольно громоздко.

Рассмотрим пример: решить систему по формулам Крамера.

Главный определитель этой системы:

Найдём остальные определители:

Тогда получаем решение:

Подставив эти значения в уравнения системы вместо неиз -вестных, получим тождественные равенства.

И матричный способ решения систем, и формула Крамера позволяют решать системы, у которых число уравнений равно числу неизвестных с невырожденными матрицами коэффициен- тов. Следующий метод применим для произвольных систем.

3 МЕТОД ГАУССА (МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ

ИСКЛЮЧЕНИЙ)

Рассмотрим произвольную систему (1) линейных уравнений:

Две системы вида (1) называются эквивалентными, если любое решение одной из них является решение другой и нао- борот, или в случае, если обе системы несовместны.

Следующие преобразования систем, которые приводят к эквивалентным системам, называются элементарными, а иногда просто эквивалентными преобразованиями.

1. Можно поменять местами любые два уравнения сис –темы.

2. Можно умножить каждое слагаемое уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

3. Можно сложить любые два уравнения, а результат сложения записать вместо одного из уравнений.

Сущность метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Сначала из первого уравнения выражаем и подставляем во все ос –тальные уравнения. После этого из полученного второго уравнения выражаем и подставляем во все следующие уравнения и так далее.

Все преобразования такого рода удобно выполнять, вос – пользовавшись так называемой расширенной матрицей сис – темы:

.

Матрица, расположенная слева от вертикальной черты, назы -вается основной, а вся матрица расширенной (здесь справа от черты стоят элементы правой части системы). Элементар- ные преобразования уравнений системы равносильны эквива - лентным преобразованиями строк расширенной матрицы сис –темы:

1. Можно поменять местами любые две строки матрицы .

2. Любую строку матрицы можно умножить на любое отличное от нуля число.

3. Любую сроку матрицы можно прибавить к любой другой строке.

Чаще всего преобразования 2 и 3 заменяют следующим: