Теорема 6.2. (Необходимое условие интегрируемости функции). Если функция 
интегрируема на некотором отрезке 
, то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Предположим противное, что функция неограниченна, но интегрируема на отрезке . Пусть T разбиение отрезка интегрирования. Тогда на одном из отрезков разбиения 
функция неограниченна и за счет выбора промежуточной точки 
из этого отрезка разбиения слагаемое 
, а, следовательно, и вся интегральная сумма, может быть сделано сколь угодно большим по модулю. Поэтому интегральные суммы такой функции не имеют предела, что противоречит исходному утверждению.
Конец доказательства.
Из теоремы 6.2. следует, неограниченные на отрезках функции не интегрируемы. Но условие ограниченности функции не является достаточным. Приведем пример ограниченной, но не интегрируемой функции.
Пример 6.1. (Функция Дирихле). На отрезке 
определена функция 
так, что 
, если х иррационально, и 
, если х рационально. Покажем, что эта функция не интегрируема по Риману, хотя она, очевидно, ограничена. Действительно, возьмем произвольное разбиение отрезка и составим интегральную сумму 
. Если на отрезках разбиения 
выбрать рациональные значения , то интегральные суммы для произвольного разбиения равны 0. Если на отрезках разбиения выбрать иррациональные значения , то интегральные суммы для произвольного разбиения равны 
. Следовательно, такие интегральные суммы не имеют предела.
Конец доказательства.
Теорема 6.3. Если определенная и ограниченная на отрезке функция имеет счетное (конечное или бесконечное) число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
Эта теорема приводится без доказательства. Отметим, что функция Дирихле ограничена, но имеет разрыв 1-го рода в каждой точке отрезка . Так как множество чисел отрезка несчетно, то функция Дирихле не удовлетворяет условиям теоремы 6.3. Из теоремы 6.3. следует ряд важных следствий.
Следствие 6.1. Непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.
Следствие 6.2. Кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.
Приведем еще один класс интегрируемых функций.
Теорема 6.4. Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.
Эта теорема приводится без доказательства.
Замечание 6.1. Монотонная на отрезке функция ограничена на этом отрезке значениями 
. Следовательно, монотонные функции на отрезках удовлетворяют необходимым условиям интегрируемости (теорема 6.2).
Конец замечания.
Замечание 6.2. Отметим без доказательства, что монотонная на отрезке функция может иметь только счетное (конечное или бесконечное) число точек разрыва первого рода. По этой причине монотонные функции на отрезках удовлетворяют достаточным условиям интегрируемости (теорема 6.3).
Конец замечания.
Рассмотрим теперь геометрический смысл определенного интеграла. Пусть T произвольное разбиение отрезка 
и 
. На каждом отрезке разбиения построим прямоугольник, высота которого равна наименьшему значению функции на этом отрезке. Очевидно, что полученная фигура будет вписана в соответствующую криволинейную трапецию. Обозначим площадь вписанной ступенчатой фигуры 
. Аналогично можно построить описанную ступенчатую фигуру, выбирая на каждом отрезке разбиения высоту, равную максимальному значению функции на отрезке разбиения. Ее площадь обозначим через 
. В зависимости от разбиения T значения 
и будут меняться. Если максимальное значение равно минимальному значению 
, то S называют площадью плоской фигуры. Можно показать, что если и интегрируема, то криволинейная трапеция, соответствующая функции имеет площадь 
.
