Вопрос 1. Линейные дифференциальные уравнения старших порядков.
Вопрос 30.2. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Список литературы ……………………………………………………….157
ЛЕКЦИЯ № 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Вопрос 1.1. Первообразная и неопределенный интеграл.
Определение 1.1.1. Функция 
называется первообразной для функции 
на интервале 
, если 
для всех x из интервала .
Конец определения.
Очевидно, что если первообразная для функции , то и 
тоже первообразная для . Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 1.1.1. Если и 
две первообразные для функции , то они отличаются на константу.
Доказательство. Так как выполняются равенства , 
, то, вычитая из первого равенства второе, получим
.
Из равенства нулю производной, заключаем, что разность функций принимает постоянное значение, откуда и следует доказываемое утверждение
.
Конец доказательства.
Определение 1.1.2. Неопределенным интегралом от функции на интервале называется множество всех ее первообразных, которое обозначается символом
.
Конец определения.
Свойства неопределенного интеграла:
1) 
,
2) 
.
Доказательство. Доказательство следует из равенства:
.
Конец доказательства.
3) 
.
Доказательство. Пусть и есть первообразные для функций и 
соответственно. Тогда сумма 
есть первообразная для функции 
, и, следовательно, справедливо равенство
.
Поскольку равенство неопределенных интегралов понимается с точностью до константы, то отсюда следует доказываемое соотношение.
Конец доказательства.
4) 
.
Доказывается аналогично 3-ему свойству.
5) 
.
Доказательство. Пусть есть первообразная для функции , тогда функция 
есть первообразная для функции 
, отсюда получаем
,
где учтено, что 
. Отсюда, по тем же причинам, что и в доказательстве свойства 3 следует справедливость свойства 4.
Конец доказательства.
6) 
.
Доказательство. Пусть есть первообразная для функции , тогда функция 
есть первообразная для функции 
.
Отсюда получаем
.
Конец доказательства.
Вопрос 1.2. Таблица интегралов.
Таблица интегралов играет в высшей математике такую же важную роль, что и таблица производных. Она состоит из наиболее часто встречающихся интегралов от элементарных функций. Эти интегралы получаются с помощью таблицы производных из определения неопределенного интеграла.
.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
.
4. 
.
5. 
.
6. 
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
15. 
.
Докажем например формулу 2. Вычислим производную от 
. Если 
, то 
, тогда 
. Если 
, то 
, тогда 
. Поэтому 
.
Замечание 1.1. Некоторые интегралы могут быть выражены через другие функции.
Например:
,
,
,
где 
‑ аркгиперболический синус (функция ‑ обратная к гиперболическому синусу) и 
‑ аркгиперболический тангенс (функция ‑ обратная к гиперболическому тангенсу)
